Week 3

Hong Liu and Shreya “Entanglement entropies of equilibrated pure states in quantum many-body systems and gravity”

读这篇文章时，在心里逐渐浮现的问题是：究竟如何描述量子混沌，或者对于量子系统，integrability还有chaos真的是有一个很sharp的边界吗？（“even the dynamics of an integrable system such as the Toda chain has good “equilibrium” properties, provided one looks at “generic” observables. ” from another interesting paper "Statistical mechanics of an integrable system"）当我们说一个量子系统可积或者chaotic的时候，我们在说什么呢？之前再Raju的review里学到了这样一个fact：“对于一个具有很多自由度的量子系统，几乎所有的pure state都exponentially close to maximally mixed state。” 如果这个statement成立的话，那是不是说对于所有的量子多体系统，每个pure state都可以近似用一个thermal state来描述（ETH?）

可能非可积系统的一个性质是它有thermal equilibrium的概念(free fermion 或者free boson 没有吗？)，这样可以定义thermal equilibrium state 的概念:
Consider a quantum many-body system initially in a far-from-equilibrium pure state |Ψ0⟩. If the system is non-integrable, it should eventually approach a thermal equilibrium, in the following sense. For times t ≫ ts, where ts is a thermalization time scale, |Ψ(t)⟩ = U(t)|Ψ0⟩。
这个thermal state可以用一个equilibrium density operator ρ^eq来很好的近似：, 这里 是一组描述平衡态的物理参数。

假设我对一个平衡态感兴趣，他的的n-th Renyi entropy 可以写成

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evolution operator 可以用路径积分来表示，这样我们有Renyi entropy 的Lorentzian 路径积分的形式

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where φ(t) collectively denotes the dynamical variables of the system。我们也可以把他想象成在replica 空间的一个散射振幅

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这篇文章的就是根据之前的一些observation提出了一个计算这个振幅的一个近似方法。核心就是分离出不随时间变化的量，也就是分离出在下作用的singlet的sector，文章claim这个sector是主要的贡献。并且这个sector 里面的每一个singlet的贡献都可以写成一个欧式路径积分的形式对应了在Island工作里面replica wormhole的贡献。然后文章考虑了几个特殊的来重复出之前文献里面的一些结果，本质上的计算还是大同小异的。

关于这个proposal的一些方面

1. Unitary 是显然的。
2. 解释randomness的来源：来自于non-singlet sector的贡献。并不需要引入ensemble of theories

给我的感觉是一个更自洽的解释island还有replica wormhole，baby universe等这些新的概念的一个框架。还有一些不理解，很多细节还要推敲。比如那些是假设的部分，那些是universal的部分。首要的问题是为什么singlet的贡献是dominate的。