多种算法

    中国古代有个寓意深远的故事，名叫“买椟还珠”。说有人买了一个漂亮的盒子，发现里面藏了个不起眼的小珠子，就把珍珠还给了主人，自己高高兴兴拿着盒子走了。

　　寓言的奇妙之处就在于，幼年学习的时候，感觉世上怎会有如此憨傻之人？

　　而成年后品味故事的深意，心头却难免涌起一阵后怕，因为稍不注意，它说的就是我们自己。

　　在数学学习领域，类似的“买椟还珠”现象，如今就大量存在。今天不谈抽象的理念，我们就具体案例来说。

　　曾有家长在群里发了一张图片，并且表达了自己的不解：

　　一个两位数减法，直接用竖式做不就可以了么？为什么要翻来覆去搞这么多算法？把自己都搞晕了。

　　言外之意，对教材的安排以及课内老师的教法，有些人很不理解、排斥甚至反感。

　　立刻有数位家长表示了同样的疑惑。

　　简单在群里答了几句，还是决定写篇文章，因为这是一个极为重要的问题。如果这个主次关系搞不清楚，孩子的数学很容易走上歧途。

　　究竟是竖式好？还是这种拆分运算方法好呢？

　　先说结论，从方法的统一性和便捷性角度考虑，竖式肯定更占优势，这也是我们高年级都统一使用竖式的原因。但拆分运算的阶段绝不能跳过，因为它非但是竖式运算的原型，更对培养孩子的数感有不可取代的意义。

　　条条大路通罗马，计算的路径是很多的。通过不同的拆分方法去解决同一个问题，看似很绕很麻烦，但实则是在训练孩子多方面的能力，像是：

　　1．多角度考虑问题的能力；

　　2．比较归纳总结的能力；

　　3．培养更立体的数感。

　　这些能力有啥作用？我们还是看例子吧。

　　87-29=

　　这题该如何计算？

　　对于只会竖式的同学，它只能按照标准格式计算：

　　但从课本的拆分角度来看，它的运算路径其实有很多，随便举几个：

　　（1）可以先算87-20=67，再算67-9=58；

　　（2）可以先算87-9=78，再算78-20=58；

　　（3）还可以把87分成70+17，先算17-9=8，再算70-20=50，最后8+50=58，其实这就是竖式的基本思路。

　　（4）当然，还可以把-29看成先-30再+1，得87-29=87-30+1=57+1=58。

　　为什么要考虑这么多种路径呢？就直接学竖式用竖式不行么？

　　看一个稍微高级一点的问题：

　　4872-998=

　　对于这题，很多同学想都不想，就直接用竖式解答。这固然可以算出来，但运算量大，费时间、容易错，此时上述第4种方法，突然就显现出它独特的优势：

　　4872-998

　=4872-1000+2

　=3872+2

　=3874

　　你看，这就是我们后来俗称的简便运算。

　　到了高年级，许多家长反过头来问，孩子简便运算总是不太会，看不出该怎么调整运算顺序、应用什么运算律。

　　这时候，我们需要反问一句，孩子低年级的时候，是否总是在用单一的方法来计算呢？他们有没有习惯尝试不同的运算路径？

　　竖式是一种成熟结果，它虽然好学，但十分套路化，比的只是熟练度。它能保证我们把题算对，却很难让我们理解运算原理，更不可能多角度培养我们的运算灵活性。

　　因此，它绝不能取代初期的拆分运算练习。否则，孩子学的数学，会变是一种“算学”，是缺乏灵活性和理解力的。

　　这会造成很多高年级问题。

　　还是看案例。

　　4.5×5.4=2.43

　　关于这种错误，很多同学除非再用竖式算一遍，否则压根看不出任何问题。

　　但如果具备多角度推理答案的能力，或者说对乘法意义有基本了解，甚至数感稍微好一点的话，都不难凭第一感觉知道，这个答案肯定是错的。

　　因为4×5都等于20了，两个乘数都更大一些，怎么可能得2点几呢？

　　类似分数的案例，也有很多：

　　9/8÷2/3=3/4

　　这种答案也只能凭借直觉，一眼看出答案不可能对。因为被除数大于1，除数小于1，一个大数除以一个小数，商肯定会大于1，怎么可能是3/4呢？

　　类似这种，非靠标准运算，而靠其他路径提前知道答案大致范围的能力，对于提升计算准确性特别重要。有了它，你很容易一眼看出别人怎么也看不出来的众多计算失误。

　　所以，即便是纯粹的计算题，也绝不只是计算规则的死板套用。数学学得好的同学，会有多种运算路径、理解方式可选，这和啥都不懂只记住规则的同学，是有天壤之别的。

　　最后我们点个题，顺便总结一下。

　　数学学习里，也有椟和珠的差别。

　　对于计算来讲，这个宝贵的珠子，其实是运算原理、运算意义、运算路径、以及逐渐立体的数感，这些都有长期的延伸价值。

　　而最终获得的那个计算方法（类似竖式、小数分数算法），其实反而只是包裹珍珠的盒子。只获得它，意义就小得多。

　　之所以说目前买椟还珠的现象特别多，就是因为大家过于关注提前去教孩子很多“标准算法”，像是给幼儿园的教竖式，给二年级的教分数计算。

　　说句实话，如果只学算法，这些孩子完全是可以学会的。毕竟，一个“分子相乘分母相乘”的分数乘法口诀，这多简单呀。通过一节课时间，我完全可以让一个二年级学生学会，且能计算简单问题。

　　但这种缺乏理解力的计算，除了能有点花拳绣腿的表演效果，又有什么实质意义呢？这孩子就是个计算器而已，他虽然能算出结果，但为什么这么算？算的是什么意义？完全一无所知。

　　它远远不如跟着课本进度，扎扎实实把时间花在对运算路径、运算原理、基础数感方面的培养上。