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2.12 自由粒子波包距离 Free particle wav

2.12 自由粒子波包距离 Free particle wav

作者: 莎野椰 | 来源:发表于2020-06-05 19:30 被阅读0次

https://www.youtube.com/watch?v=k8sDC2juOdY&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=25&t=8s

前言

傅立叶变换使得无限的波可以利用叠加的方法变得局域化，从而可以被归一化normalization，下面给出几个例子

1. 举例

  • 初始条件
    \Psi(x,0) = \sqrt{\frac 3 {2a}} \begin{cases} \frac{a+x} a \ \ \ -a \leq x \leq 0 \\ \frac{a-x} a \ \ \ 0 \leq x \leq a \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ otherwise \end{cases}

  • 将上述波函数表述为波包形式
    根据 \phi (k)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,0) e^{-ikx}dx

= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{\frac{3}{2a}} \left[ \int_{-a}^0 \frac{a+x} a e^{-ikx} + \int_{0}^{-a} \frac{a-x} a e^{-ikx} \right]

然后经过化简后可以得到一个\phi (k) \sim \frac{\sin^2{k}}{k^2}的公式，图像如下

image.png
  • 接下来将上述结果返回时间薛定谔方程
    \Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \underbrace{\phi(k)}_{\frac{\sin^2{k}}{k^2}} e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)} dk

这里得到的公式是随着时间变化的，那么利用（x)的初始边界条件（分段函数形式）可以求得k的取值，然后画出波函数随着时间的变化图像（stage）

image.png image.png image.png

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