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2.11 自由粒子波包和静态 Free particle wav

2.11 自由粒子波包和静态 Free particle wav

作者: 莎野椰 | 来源:发表于2020-06-04 23:18 被阅读0次

https://www.youtube.com/watch?v=uG7kKwMJqn4&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=23

前言

上节我们说到，自由粒子的波函数无法正则化，那么他就无法反应真实状态，但是我们可以利用它作为一个起点，意思是，我们可以从一个不真实的态出发，通过加和得到一个真实存在的态。

1. 波包 wave packets

波包的特点，两端=0，中间非0态，如下图所示，这样的波函数是可以正则归一化的。


image.png

  • 构建波包

    • 回顾Lecture 2.5-2.7 箱子中的粒子/无限深势阱

    根据波函数解的线性关系可以得到如下波函数的通解：

    \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sqrt{2/a} \sin(\frac{n\pi}{a} x) e^{-i \frac{n^2 \pi^2 \hbar}{2ma^2}t}

    图像如下，显然是一个可正则化（范围之外的波函数为0）的波包：

image.png 
- 那么对于自由粒子来说，
$\Psi(x,t) = A e^{ik(x-\frac{\hbar k}{2m}t)}+ B e^{-ik(x-\frac{\hbar k}{2m}t)}$
实际上上述波函数可以简化成如下形式：
    $\Psi(x,t) = A e^{i(kx-\frac{\hbar k}{2m}t)}$
其中：$k=\pm \frac{2mE}{\hbar}$ (**这里k的取值在Lecture 2.5深势阱中也是用到的，使用的前提是V(x)=0**)

1. 对比无限深势阱，自由粒子的波函数是连续的，所以不能用$\sum$需要用$\int$符号；
2. 且相比于深势阱中以n为离散波函数态的叠加，自由粒子是以连续变量k作为积分项；
3. 这里叠加项并不是$c_n$常数项，而是需要为k的函数$\phi (k)$，因为对于自由粒子来说，每一个函数都是不可归一化的。
所以此时波函数的通解为：
$$\Psi (x，t) = \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)  e^{i(kx-\frac{\hbar k}{2m}t)}$$

2. 傅立叶技巧，回顾

  • 深势阱
    \Psi(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sqrt{2/a} \sin(\frac{n\pi}{a} x)\\ \Rightarrow \int_0^a \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{n\pi}{a} x) \Psi(x,0)\\ c_m=\sum_{n=1}^{\infty} c_n \underbrace{\frac{2}{a} \int_0^a \sin(\frac{m\pi}{a} x) \sin(\frac{n\pi}{a} x)}_{\delta_{mn} }dx \\ c_m=\int_0^a \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{n\pi}{a} x) \Psi(x,0)

  • 自由粒子
    \Psi (x，t) = \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{ikx} dk \\ \Rightarrow Fourier: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ik'x} \Psi(x,0) dx \\ = \int_{-\infty}^{\infty} dk \phi(k) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} dx e^{-ik'x} e^{-ikx}}_{\delta(k-k')}\\ =\int_{-\infty}^{\infty} dk \phi(k) \delta(k-k')\\ = \phi (k')= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ik'x} \Psi(x,0) dx

  • \delta(k-k')只有当k=k'时=1，否则等于0,Lecture 2.13会专门讲这个函数

  • 傅立叶变换和波函数

    • 静态波函数的傅立叶变换
      f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(k) e^{ikx} dx

    F(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{-ikx} dx
    可以看出这两者的差别就在于f(x),F(x)的位置挑换，和虚数部分变成共轭形式

    • 全波函数的傅立叶变换(类自由粒子波函数的变换，不同之处是又加上了时间波函数部分)
      \phi (k)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,0) e^{-ikx}dx

    \Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)} dk

3. 波速

  • \Psi(x,t) = e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}
    显然波函数的运动速度取决于括号(kx-\frac{\hbar k^2}{2m})的取值，因为x，t变量都在里头。假设波函数为匀速。
    kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t = 0
    当t \uparrow \Rightarrow x \uparrow \Rightarrow 波函数向右（x的正方向）传播
  • 有多快？
    x=\frac{\hbar k}{2m}t = \frac{\hbar}{2m} \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} = \sqrt{\frac{E}{2m}}t
    v = \sqrt{\frac{E}{2m}}

注意注意：经典力学中：
1/2 mv^2 = E \Rightarrow v = \sqrt{2E/m}
显然，量子力学得到的波速与经典力学中得到的波速差别很大，这并不能说明粒子在量子状态中运动状态和宏观不同，大佬们分析这是因为，上面计算的速度只是波的其中一个（a feature of wave)速度（个人理解，是波在上下波动的速度）, 真正和经典对应的速度应该是波包的速度（波的平移速率）。

4. 波包的速度

  • 以下面的波包函数为例：
    \Psi(x,t) = e^{i(k_1x-\frac{\hbar k_1^2}{2m}t)} + e^{i(k_2x-\frac{\hbar k_2^2}{2m}t)}

  • \alpha = \frac{k_1 + k_2}2 x - \frac{\hbar (k_1^2 + k_2^2)}{4m} t

  • \Delta = \frac{k_1 - k_2}2 x - \frac{\hbar (k_1^2 - k_2^2)}{4m} t

    =e^{i(\alpha + \Delta)} + e^{i(\alpha + \Delta)}

    =e^{i\alpha} (e^{i\Delta} + e^{-i\Delta})

    =e^{i \alpha} 2 cos(\Delta)

  • 经过上文简化，我们得到了由三角函数cos(x)和e指数组成的波函数，那么可以分别把他们的波画出来：其中黄色为cos(x)为三角函数，蓝色部分为总波函数图像，这是因为\alpha > \Delta，所以e指数构成的波函数频率更大，然后与cos(x)函数相乘,得到有些地方=0，有些地方大一些。

    image.png

  • 如果k_1 = k_2 \Rightarrow \Delta = 0
    \frac{k_1 - k_2}2 x = - \frac{\hbar (k_1^2 - k_2^2)}{4m}

    x/2 = \frac{\hbar (k_1 + k_2)}{4m} = \frac{\hbar (2 \bar{k})}{4m}

    x = \frac{\hbar}{m} \bar{k} = \frac{\hbar} m \frac{\sqrt{2m\bar{E}}}{\hbar} t = \sqrt{\frac{2\bar{E}}m }t

  • 波包速率

    • group velocity (群组速度)
      波包整体向右移动速度，如下图中的深黑色线条所示

    • phase velocity（相速度）
      波中的某一点的移动速度，该点不仅向右移动而且向上or向下移动。


      image.png

  • 小问题


    image.png

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