面积一样吗？

  在做数学练习的时候哦，我偶然发现了一道非常有意思的题。如图：

这道题让我想到了我们三年级的一道题，一个长方形，如果它的周长一样，那么它的面积什么时候最大，它的面积什么时候最小？以前我们通过各种计算，以及举特例得到了当这个长方形的长和宽最接近也就是一个正方形的时候，它的面积最大，但是如果长和宽的差距越来越大的面积，就会越来越小。但这种方法不能证明是普遍适用，所以之后我就用代数式证明了一下：

后来我又想到了一种更高级的证明方法，就是用函数的图像来证明。

  我们可以先举个例子，假设这个长方形的周长就是16，那么也就有几组不同的长方形，如图：

  这几个长方形他们的周长都一样，但是他们的面积却不一样。这个时候我就可以将这几组数据加入一个坐标系里。此时一共有四个量，长，宽，面积，还有周长，此时周长是一个定量，其他的都是变量，那么坐标系的横轴和竖轴分别是什么呢？我们不能将四个量全都放到里面，但首先我可以确定其中的一条轴就是面积，因为我们要看的变化就是面积。而另外一条轴我们可以把它定为长，这样宽也就自然而然地在中间体现出来了，因为面积除以长等于宽。我把每一个不同的的长方形对应的面积都在图中标注了出来，刚开始我标了几个发现不太明显，于是我找了很多的数据将它们全部标在上面，我发现很多的点逐渐的就形成了一条抛物线，如图：

刚开始的时候长越来越长，宽也随着更短，它们的面积越来越大。到这个抛物线的顶端，它的长和四宽长度一模一样，当是一个正方形的时候面积最大，是整个抛物线的最顶端。这个正方形的长更长的时候，宽也就随着越来越短，而这个时候它们的面积也就越来越小。但是不能无限的往下延伸，因为它的长和宽不可能是负数。现在长和面积形成了一个比例，让我想到了我们当时学到的正比例和反比例，但是这样的一个图像也是反比例或是正比例吗？我想不是的，因为他们的乘积不定，比值也不固定的，那么他们到底是一个怎样的比例关系？

我们可以用代数式来表示，面积就等于长乘宽，长就可以设为a，而宽也就是周长的一半减去长，周长是16，宽就是8减a，面积也可以表示为a×（8-a），利用乘法分配率就是8a减a²，如图：

这也就可以表示比例关系，并且他的函数图像是一个抛物线。