1. 矩阵的秩
和
给出了矩阵的大小，但却不是线性方程组的真正大小。因为，一个
的方程实际上是不算的。如果
中有完全相等的两行，或者第三行是第一行和第二行的线性组合，那么消元过程中就会出现全零的行。线性方程组的真正大小由秩来确定。
矩阵的秩是主元的个数，称为
。
矩阵的前两列是 (1, 1, 1)、(1, 2, 3)，它们在不同的方向，因此是主列（pivot columns）。第三列是第一列的 2 倍，第四列是前三列的和，因此这两列不会有主元，它们是自由列（free column）。每个自由列都是前面主列的线性组合。从特解中我们也可以看到：
下面我们来进行消元，消元会改变列的元素，但不会改变原有的线性组合。
可以看到， 中有两个主元，因此
（
） 的秩为 2。我们继续进行消元得到
。
这时候，我们可以很容易就得到特解的值，它们就是自由列的值取负号。
秩为 1 的矩阵只有一个主元，每一行都是主行的倍数，每一列也都是主列的倍数。
而且，秩 1 矩阵还可以表示为一个列向量和一个行向量的乘积。
这时候，，也就是所有零空间的
和行空间的
正交。在几何上，零空间是一个平面，行空间是一条直线，也就是这条直线垂直于这个平面。
矩阵的秩是相互独立的行（主行）的个数，也是相互独立的列（主列）的个数。
矩阵的秩是列空间的维数，也是行空间的维数。
主列就是不能由前面列线性组合而产生的列，而自由列是前面列的线性组合，这些线性组合就是特解。
有
个主元和
个自由变量，那么零空间就有
个相互独立的特解。
我们可以很容易从 得到特解，假设前
列是主列，那么
就可以表示成这样：
其解就可以表示为：
由分块矩阵可知，。
2. 
的全解
当我们求解 的时候，对左边的矩阵
进行消元的时候，我们要同时对右边的
进行同样的操作，一个简单的办法就是把
作为
的一列组成增广矩阵。
进行消元后，我们可以得到
其中最后的全零行是非常重要的，左边矩阵 第一行加上第二行等于第三行，右边的
也必须满足这种情况方程组才有解。
方程的其中一个解就是将自由变量都设置为 0，这时候定解（particular solution）中主变量的值就来自于
而方程的全解则由两部分组成，一部分为定解，一部分为 的零空间解。
3. 四种可能的情况
假设矩阵 的大小为 m×n，矩阵的秩为
，则方程组的解有如下四种情况：
若 ，则意味着列空间为整个
，此时
一定位于列空间内，也就是方程组一定有解。若同时还有
，意味着没有自由变量，零空间解只有零向量，方程组有唯一解；若同时还有
，意味着有自由变量，零空间解有无穷个，方程组的也就有无穷解。
若 ，则意味着列空间为
的一部分子空间，此时
可能位于列空间内也可能不在列空间内，因此，方程组可能有解也可能无解。若同时还有
，意味着没有自由变量，零空间解只有零向量，方程组有解情况下也只能有唯一解；若同时还有
，意味着有自由变量，零空间解有无穷个，方程组有解情况下也就有无穷解。
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