机器学习算法复习手册——决策树
本手册整理自机器学习各相关书籍、网络资料、个人的理解与实践。总体编写宗旨：
①一看就懂；
②用20%的文字，涵盖80%的内容。
至于剩下的20%，一般属于比较偏、难的部分，建议自行查询相关书籍资料学习。而只用20%的文字，则代表手册里面几乎没有废话，也只有极少数必要的例子。
下面进入正题。
决策树
决策树是一种基本的分类回归模型。它可以认为是if-then规则的一个集合，或者是特征空间和类空间上的条件概率分布。
优点：模型可读性强，训练速度快。
构建决策树的步骤：
- 特征选择
- 决策树的生成
- 决策树的剪枝
主要算法：ID3（1986年），C4.5（1993年），CART（1984年）
一、特征选择
决策树中的每一个分支是怎么来的呢？比方对贷款违约情况训练一个分类模型，我们有“年龄段”、“是否有房子”、“是否有工作”三个特征。那究竟选择哪个特征呢？
特征选择，就是要选出有“分类效果”的特征。
如何体现“分类效果”？——信息增益，信息增益比，基尼指数
1.信息增益
信息增益，顾名思义，就是信息增加的情况。
何谓信息呢？在信息论中，我们使用“熵”（entropy）来表示事务不确定性的程度，也就是信息量的大小（往往说信息量大，就是指这个事情背后的不确定因素太多了） 。
假设一个随机变量的概率分布为：
则这个随机变量的熵为：
可以看出，熵的大小，跟变量本身的值无关，只跟变量的概率分布有关。
对于随机变量(X,Y),其联合概率分布为：
这个时候，可以定义Y在X的条件下的条件熵：
条件熵的意义就是：在给定了X的信息之后，Y这个随机变量的信息量（不确定性）的大小。
因此，我们可以进一步定义，特征A对数据集D的信息增益（information gain）为g(D|A)，它等于D本来的熵，与给定A的条件下的D的条件熵的差值，即：
具体：
从上面的公式很容易理解信息增益的意义：引入了特征A之后，原来数据集D的不确定性减小了多少。
这样，我们就可以方便地计算出每一个特征引入后的信息增益，选择给D带来的信息增益最大的特征，即为最优的特征了。
2.信息增益比
用信息增益作为标准来确定特征的话，存在偏向于特征取值较多的特征，而这样的话很容易造成过拟合。因此，我们引入了信息增益比（information gain ratio）这个指标，对那些特征值过多的特征做一定的“惩罚”：
就是对信息增益除以一个跟A有关的分母，这个分母称为属性A的“固有值”，往往A的特征值越多的话，这个固有值也会越大。
但是，需要注意的是：信息增益比，反过来会对可取值数目较少的特征有偏好。所以也不是信息增益比就一定优于信息增益。
实际上，C4.5算法也不是直接使用信息增益比来进行特征选择，而是先找出信息增益高出平均水平的那些特征，然后再从中挑选信息增益比最高的。
3. 基尼指数
基尼指数跟信息增益的理念不同，它除了要选择最优的特征，还要确定这个特征的最优二值切分点。也就是说，对于每一个特征，我们都只确定一个切分点，将数据集分成两份。而在信息增益（比）的标准中，一个特征有几个值，就会把数据集分成几份。
基尼指数的定义是这样的，对于随机变量X，其基尼指数为：
那么对于一个数据集D，其基尼指数就是：
其中C是类别数。
基尼指数反映了这个数据集的“纯度”。基尼指数越小，说明数据集纯度越高。
同样也有条件基尼指数，对于给定特征A后，A中的某一个特征值a将D分成了两部分D1和D2，那么定义咋特征A=a的情况下，D的基尼指数为：
因此，对于一个特征A，我们可以对每一个特征值（划分点）求一个基尼指数，其中最小的那个基尼指数，就对应着这个特征的最佳划分点。
二、决策树的生成
决策树的生成方式，一句话就是：用特征选择指标，从根节点往下一个个节点选择最佳特征，递归地生成决策树。
所以从编程的角度讲，就是一个递归函数：
tree_generation(D,A):
先处理递归终止情况：
1. 如果D所有样本都属于同一类，那么整个D就是一个结点，返回一个叶子节点
2. 如果A是空集，即没有特征供我们选择，则整个D就是一个结点，返回一个叶子节点
再处理其他正常情况：
3. 排除上面两种情况后，选择A中对D的最优特征Ai
4. 如果特征Ai不满足某种条件（不够有区分度，比如信息增益小于某阈值）,则D就称为一个叶子节点并返回
4. 如果特征Ai满足某种条件，那么就用Ai对D进行划分，得到若干个子结点，对每个节点，调用tree_generation(Dk，A-Ai)
不同的算法的主要区别在于用什么指标来进行特征选择：
- ID3算法使用信息增益作为指标来选择特征。
- C4.5算法使用信息增益比来选择特征
- CART算法则使用基尼指数
当然，不同的算法还有很多其他细节的不同，例如CART生成的就是二叉树。但是主要的思想就是上面那个递归函数。
三、决策树的剪枝
前面的决策树的生成过程，是完全根据训练集来的，所以会尽可能地去拟合训练集中中的特点，这样形成的树往往会很茂密，分支很多，往往泛化性能就不高。
所以，我们就要使用一个验证集来对生成的树进行“剪枝”处理。
剪枝的基本策略有两种：“预剪枝”和“后剪枝”。
1. 预剪枝
预剪枝，顾名思义，就是不要等到最后再剪，而是在前面有机会剪就剪。
什么时候有机会呢？——当你发现当前对节点的划分不能带来性能的提升时。这个时候就果断把这个小树苗“扼杀在摇篮里”。因此这是一种“自顶向下”的剪枝方法。
比方，对于一个结点，根据训练集的数据，我们发现使用特征A的信息增益（比）最高，所以可以使用A来对该结点进行划分。
但是你担心划分会过拟合，也就是在验证集/测试集上的表现不好。
要怎么判断呢？
- 假设不划分（对应剪枝），那么该结点就是叶子结点了，其类别就是服从大多数的类别。然后，计算一下这个结点在验证集上的准确率α1；
- 假设划分（对应不剪枝），那么该结点就分成了若干个子结点，每个子结点的类别还是按照“服从大多数”的方法来确定。然后，计算一下验证集在各个子结点上的综合的准确率α2；
- 比较一下α1和α2，谁大谁就好。
思路还是很简洁的哈。
预剪枝的方法，使得很多分支，还没出生，就被扼杀，大大减少了决策树训练的时间、计算开销。
但是，这样生成的树，往往很稀疏，存在欠拟合的风险。为啥呢？因为你剪枝的过程“太急”了，可能十分“短视”，有一些节点的划分，可能当前不能提升泛化性能，但是在这个划分的基础上的划分，却可能会有显著的效果提升。这就是短视可能的代价，只追求眼前的利益，可能长远看来确实亏损的。
2.后剪枝
后剪枝，顾名思义，就是事后诸葛亮，先一口气把树使劲生成，然后我再回过头来，一刀一刀地砍。这个时候就只能“自底向上”地砍树了。
思路也很简单：
- 本来整棵树在验证集上的准确率为α1
- 对于一个节点的划分，如果把分支都砍掉，那么就退化成一个结点。使用“服从大多数”法则，确定其类别，计算整棵树在验证集上的准确率α2；
- 比较一下α1和α2，谁大谁就好。
后剪枝明显会比预剪枝的泛化性能更好，欠拟合风险也更低。但是这个方法，需要等树完全生成，所以总体时间开销也比较大。
x、关于决策树的其他
其他细节包括：
- 如何处理连续值
- 如何处理缺失值
- 决策树的分类边界
- ......
这些细节问题建议参考周志华的西瓜书，这里不再赘述。
当然，Talk is cheap, show me the code. 后面的文章我会展示如何用python实现一个简单的决策树模型的思路和代码。
本文参考资料：
1.李航， 《统计学习方法》
2.周志华，《机器学习》
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