空间曲线的切线、密切平面、主副法向量

空间曲线的切线、密切平面、主副法向量

作者: 一念之动即是行 | 来源:发表于2018-10-18 16:56 被阅读73次

动机

最近做毕业论文的时候涉及到了空间曲线法向量的问题，尴尬地发现以前学的东西都还给老师了，于是在查阅梅向明、黄敬之所编《微分几何》后，做如下笔记。

空间曲线

这里不对曲线的概念做具体的数学描述，本篇笔记中考虑的主要是如下参数曲线：
$\begin{aligned} r(t)=(x(t),y(t),z(t)) \end{aligned}$
其中 $x(t),y(t),z(t)$ 都是关于参数 $t$ 的函数。

空间曲线的切向量

切线：直观上看，切线是通过切点的所有直线中最贴近曲线的直线。

切向量：若 $r(t)$ 在 $t_0$ 处可微，则如下极限存在：
$\begin{aligned} r'(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {r(t_0 + \Delta t) - r(t_0)}{\Delta t} \end{aligned}$
则向量 $r'(t_0)$ 称为曲线上 $t_0$ 点的切向量

空间曲线的密切平面

直观上看，曲线的密切平面是最贴近曲线的切平面

在曲线上某点 $P$ ,设其对应参数为 $t_0$ ，如果向量 $r'(t_0)\times r''(t_0) \not = 0$ ，则 $P,r'(t_0),r''(t_0)$ 确定了一个平面，这个平面就是曲线在该点的密切平面，其方程是
$\begin{vmatrix} x-x(t_0) & y-y(t_0) & z-z(t_0) \\ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0) \\ x''(t_0) & y''(t_0) & z''(t_0) \end{vmatrix} = 0$

空间曲线的基本三棱形(Frenet标架)

设曲线上 $P$ 点对应的参数为 $t_0$ ，则 $P$ 点处的单位切向量 $\alpha$ 定义为
$\alpha(t_0) = \frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$

副法向量 $\gamma$ 定义为
$\gamma = \frac{r' \times r''}{|r' \times r''|}$

主法向量(密切平面的法向) $\beta$ 定义为
$\beta = \gamma \times \alpha = \frac{(r' \cdot r')r'' - (r' \cdot r'')r' }{|r'||r' \times r''|}$

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