数学思想方法揭秘-1(续)

接上一篇：数学思想方法揭秘-1(原创)。

原来的”数学思想方法揭秘-1(原创)”篇幅过长，故作了拆分，遂有此文。

数学思维并不神秘

学习数学一定要思维灵活，拒绝呆板，而数学思维、数学思想方法论和解题策略乃至数学中对辩证法的运用，都是为了塑造思维的灵活性，塑造多维度深度思考的能力，当然也塑造其它的思维品质，如严谨性、系统性。

  这些数学思维和思想方法中的绝大多数是我们日常生活中都会用到的，核心本质就是从多个维度多个层面探索各种形式的变化，要会千变万化，当然这些变化是要有数学思想方法来指导的，不是无目的无逻辑无头绪的随意变化。变化的最后，连思想方法自身都要变，这种思想方法不行就换另一种思想方法，就是变法，历史上就存在变法运动，不要有思维定势。

  辩证法中的万物普遍联系观，任何事物万事万物包括人都不是孤立存在的，相互之间存在千丝万缕的联系，形成关系网络。我们的社会是关系的社会，日常生活中很多人办事喜欢找关系和拉关系，找熟人托关系，路就通了事就好办了。常说的蝴蝶效应也是因为事物之间存在关系。

  任何两个事物之间都存在一种或多种类型的联系，就看你是否能发现这些联系。有联系就可能产生关系，关系是事物相互联系的必要因素，不同关系表现着事物、特性的不同联系方式。关系无处不在，例如各种社会关系：父子关系、师生关系、同事关系；另外还有人和环境的关系、人和生物的关系、各种事物之间的关系、电场与磁场的关系。数学问题数学对象中也存在各种关系，例如数学对象的大小关系(一个数大于另一个数、算术平均数大于等于几何平均数)、倍数关系、乘积关系、相反数关系、倒数关系、垂直关系、平方关系等。知识点和知识点之间有关系、联系、关联，例如乘法和除法、抽屉原理和平均数，知识点和数学题之间也有关系和联系，数学题之间也有关系和联系，在一道数学题内部更是存在多种关系和联系。对数学问题中关系的处理就体现了数学思维的功底。数学主要研究的是各种关系包括数量关系(数)和空间形式(形)、各种抽象的模式、次序、结构。日常生活中我们找关系走关系利用关系是为了好办事，在数学研究和解题中我们也要找关系走关系利用关系，我们把数学对象和它们之间的关系用数学语言刻画表达出来或换一种表示形式（例如代数问题转化成几何图形，数形结合）、翻译出来、或进行建模，例如用数学概念、数学符号、图形、图像、图表、公理、定理、公式、算式、 等式、不等式、集合、方程式、函数、微积分等表示出来，借助数学语言，便于我们记忆思考或各种数学上的操作处理，例如等式变形、解方程等等。联想、类比、抽象也是因为两个对象（事物、概念）之间有某种联系，我们才能由此及彼的进行联想，其他数学思想方法也体现了这种万物普遍联系的多样性。两个任意的事物，当我们想探寻它们的联系时，那它们就肯定存在联系。关系具有传递性，假设A和B有关系，B和C有关系，则可得出A和C有关系(A-C关系类型不一定类似A-B、B-C的关系)，通过传递性产生A-B-C关系链。既然有联系有关系，那我们就可利用关系和它的传递性、关系链来牵线搭桥，架起从已知条件(题设)到结论，上一步到下一步，未知到已知、不熟悉到熟悉、复杂到简单，从一种形式到另一种形式的桥梁，也就是转化了问题，变化了问题，没有关系变不了，最终有助于形成解题链路解题思路，有助于探索解题思路。规则也是一种关系，一定程度上可以说没有关系就没有推理和转化，转化一般要基于关系来进行，例如相等关系，等价关系、比例关系，可见关系的重要性。

  方程对应地在数学思想中有方程思想，函数有函数思想，关系作为数学研究的主题，但奇怪的是在数学思想中却没有对应的关系思想。还没有哪本数学书籍对关系思想的定义和本质内涵做出深刻的讲述，对此，本人提出在数学思想中增加关系思想。数学书籍上关于关系的讲述，一般是用函数、集合来加以说明什么是关系，外加等价关系的定义和三个性质：自反性、对称性、传递性，在百度百科上有一篇关于数学中关系思想的网文，期刊上有两篇关系思想的文章，虽然标题中有‘’关系思想‘’，象其他数学书籍一样，也是用函数、集合来说明什么是关系。没错，函数是关系的一种形式。关系和关系思想虽然有联系，但它们是两件事，是不同的概念，就像方程和方程思想一样是两件事，熟悉方程并不意味着有方程思想。所以它们实际上讲述的仍是关系而不是真正的关系思想，更谈不上揭示关系思想的核心内涵。

    本系列文章对关系思想的本质和内涵作了初步探讨。本人觉得非常有必要把它加进来，关系思想是一种非常重要的思想方法，应该名正言顺地加入到数学思想方法体系中。

关系思想的本质涵义：数学是研究数量关系和空间形式以及模式结构的，从这个本质出发，结合辩证法中的普遍联系观，我们可以进一步得到关系思想的本质内涵：从关系入手，始终把关系作为重点关注对象，牢牢抓住关系不放，围绕关系做文章，要善于研究关系和处理关系：善于发现关系&找关系&识别出关系，特别要注意隐藏的关系，它相对难以发现、看穿看透关系、善于合理地表达关系(用数学语言例如方程、函数、图像、图形、等式、不等式、集合等把关系表示出来，描述刻画出来。善于充分挖掘和表达已知条件的内涵，例如已知条件中说A点是圆上一点，那我们通常会在圆心和A点之间连一条线段，这条线段就从视觉上充分表达出A点是圆上一点这个已知条件的内涵)、善于改善关系、缺少关系时要善于主动创造(新)关系&构建(建立、构造)关系&主动发生关系、善于强化关系&弱化关系&解耦关系、善于关系导航(沿着关系链顺藤摸瓜)&相关联想(联想到关联的各种对象、定理、性质、知识)、善于繁衍关系、善于变换关系&转化关系、善于物化关系(由隐到显，对关系进行物质化，也就是构造出关系对应的实实在在的数学对象)、善于组合关系、善于利用关系，善于反思关系(当解题没有思路或解题受阻时，要反思题目中是否还有一些关系没有发现，是否有一些关系没有利用上或没用利用好或有另一种利用方式，是否能设法创建新关系&拉关系)。没有领悟关系思想是学不好数学的。

可从多个维度对对象之间的关系进行分类。按度量值，可分为相等关系和不等关系(小于和大于)；根据结构，可分为组合关系、聚合关系、泛化关系、继承关系、实现关系、依赖关系、关联关系，这也是构建关系的方法，后面会提到组合(思想)来构建关系。根据变化的速率，可分为线性关系和非线性关系。

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在后续文章中会对如何运用关系思想，通过数学题来进一步说明。

中介(媒介)过渡思想：日常生活中的各种中介，例如家政服务中介、房地产中介、各种中间人中间商，各种中间事物，例如五金中的垫片。数学中的中间对象或中间变量，例如参数化方程中的变参，几何中的辅助线。中介起到桥梁纽带、沟通融合&调和的作用。要从辩证法的高度与角度来理解中介，事物的普遍联系是通过中介来实现的,是通过中间性的联系和过渡性环节而实现的，事物的对立统一离不开中介，否则无法达成统一，只有对立。

  网络化思想：网络化思想和前面的辩证法联系观和关系思想是一脉相承的，在日常生活中，我们有人脉和各种关系网，有四通八达的道路交通网络和电信网络，现代社会更少不了互联网和物联网。

  在数学中，我们也要有网络化思想和由该思想驱动的网络化思维。把数学的知识形成一个紧密联系的融汇贯通的知识网络知识体系，对每个知识点要熟悉和掌握它和关联知识点的区别和联系和它在知识体系中的层次。在学习过程中把知识整理出思维导图的形式，也体现了网络化结构化思想。

  各种数学思想方法之间也存在各种联系和层次结构，我们也要掌握这些数学思想方法的网络体系。不要有孤岛、各种墙和隔离，打通知识网络和思想方法网络，这样整个能力和知识之间都是联通的，如果做到这样，思维怎可能不灵活？怎可能有过多的思维障碍和思维之墙？思想怎可能不深邃？

  矛盾分析法：和上面的关系思想一样，矛盾分析法也是来自辩证法，辩证法中的矛盾不是逻辑矛盾，辩证法中的矛盾就是对立统一，就是和谐与不和谐。在数学中因为我们熟知分析法和综合法，这种一般的分析法就不提了。一个事物或系统中存在多种矛盾，辩证法中的矛盾分为和谐的矛盾和不和谐的矛盾。不和谐的矛盾就是各种差异、对立、不和谐。在生活中，经常碰到理想和现实的矛盾：我想...却...，我想飞却没有翅膀。在数学题中的矛盾一般存在于已知条件和结论之间，也可能是已知条件之间，表现形式是：不和谐的有差异的已知条件有很便于解题的特征或关系，但却有一些因素妨碍我们直接利用它，或有一些因素和它有形式上的对立；或表现为要利用某个设想的意图来解题来消除解题障碍，但已知条件或结论却和我们的设想不协调不呼应不咬弦；或觉得题目看上去繁琐或不统一，有差异。这些都是不和谐的矛盾。在数学中运用矛盾分析法，要求我们要识别和分析数学问题中和谐的矛盾与不和谐的矛盾，对和谐的矛盾，通常要顺应；对不和谐的矛盾，要同化&转化&改造&调整&消除&削弱。矛盾分析法在数学中用来凸显理想(结论、中间结论中途点、一些设想猜想)和现实(已知条件、问题现状)之间的矛盾，不和谐的矛盾就是差异落差，或者说不和谐的矛盾主要是一些制造解题障碍的因素或解题的拦路虎。通过理想与现状的比较来凸显矛盾后，根据和谐化原则，结合数学美思想&补美思想&完形思想，哪里存在这种解题的拦路虎和解题障碍，那就消除或转化哪里的，就要想法缩小差异，化解消除矛盾、简化矛盾、弱化矛盾、转化矛盾、转移矛盾。具体如何用矛盾分析法，在第三篇文章中会有介绍。如果要消除矛盾制造的解题障碍，一般要进行合理的设想，设想一些目标意图或中间结论，例如某道数学题中通过矛盾分析法，识别出根号是解题障碍，那我们就要设想如何消除根号，消除根号就是设想的目标意图，再根据这个意图进行联想，联想那些具有能消掉根号的知识和方法(它们具有消除根号的功用&功能&作用)。

识别数学问题中的和谐矛盾与不和谐的矛盾，一般要运用观察、比较、感觉、直觉、分析、判断、推理等。例如将军饮马问题，我们观察题目图形，应该敏锐感觉到该问题中不和谐的主要矛盾：两定点在河的同一侧与中途饮水约束下最短距离的矛盾。这个不和谐是因为它与我们熟悉的数学知识（两点之间直线最短）有差异，我们掌握的这个数学知识无法直接运用。从不和谐的地方成为问题解决的起点，要思考如何化解这个不和谐的矛盾，联想到理想情况或它的对立面，也就是两点在河的两侧。我们合情合理地设想：要想法将在河的同一侧的两点转化为分别在河的两侧。接下来就比较自然地想到对称变换，保持长度不变下的等价变换。

  观察：观察为后续的各种思维活动提供信息输入。观察就是察言观色，就是”看相看风水”&”看局势”，就是望闻问切，这个在日常生活中须臾不可缺少，视觉听觉上时刻在观察在感受，我们通常说眼睛要亮要尖就是指要善于敏锐地观察。在数学解题中很多情况下是基于特征驱动的解题思维和解题策略，数学题中的特征信息分类：条件(题设)特征、结论特征、数值特征、结构特征、形式特征、性质特征&属性特征、关系特征、图形特征、规律特征、范围特征等；特征信息还可以从其他维度进行分类，例如整体特征&局部特征，横向特征&纵向特征、良性特征&阻碍性特征(阻碍解题的特征)。怎么发现特征？主要依靠观察和试验(如比较、归纳、特殊化等)。在解题过程中，观察一般是观察发现已知条件和结论在数和形方面的各种特征特点，不只是在解题开始需要观察，在整个解题过程中都要运用观察，随时发现新的特征信息，就像我们开车一样，在从起到终点的全程都要注意观察路况，解题时还要前后联系起来观察。观察的主要内容包括：识别发现数学题中代数式、方程式、几何图形等的性质、形状、形式、结构、位置、数量、相互关系联系、个性(不同)、共性、特点、特征(包括利于解题的和不利于解题的)、隐藏的条件(化隐为显)。另外观察角度要是多维度的多层次的，立体的，例如要横向和纵向观察（上下左右前后观察），总体到局部观察，内外观察。观察和审题是数学解题中的第一步，为解题过程中后续的联系、类比、转化、归纳、比较、抽象等思想方法提供信息输入，其实观察和这些方法不是割裂的，没有明显的界限，例如观察中有比较，比较中有观察，观察中有联想，联想后再去观察，应该是融合的，水乳胶融的。观察要结合其他数学思想方法，有时通过观察能直接发现题目中隐藏的特征信息&隐藏的条件和解题暗示、关系、矛盾(差异)、规律，有时通过观察最多只能发现蛛丝马迹的一些线索，还要通过运用联想、类比、归纳、比较、抽象、转换、形象思维数形结合等数学思想方法或更具体的方法例如换元法来让隐藏的模糊的规律、性质、关系、特征现形，让它们进一步凸显明晰出来。

  对观察发现的特征信息和规律，要把它们用适当的数学语言表达出来，写在纸上，例如发现几个数学对象之间存在某种关系，我们就要选取适当的数学语言把这个关系显式表示出来，比如用等式或不等式。怎样做了之后，它们就成为我们解题的已知条件和已知信息，可能帮助我们解题。

    横看成岭侧成峰，从不同的维度/侧面/角度进行观察(立体全方位观察)，可能会得到不同的观察结果。

  联想：由此及彼，睹物思人，触景生情；由黑想到白(相反的联想)，想到黑夜黑板，想到颜色或其他颜色。我们一般是通过审题和观察，基于问题的各种特征特点，回想起我们先前的经验、熟悉的知识、先前碰到的问题和解决方案；从一个知识点想到和它有关联的、类似的、或相反的知识点或相关问题，从数学对象(数学对象可大可小，例如一个完整的题目、或题目中的一个或几个表达式、一个未知数、一个解析式，一个方程、一个等式、或方程的左边或右边)想到存在联系的某些对应物。

  联想大致可分为如下几种类型：基于特征的联想、相似联想、见微知著联想、接近联想、相反联想、新旧联想、因果联想、相关联想、结构联想。

  观察和联想是数学解题的基本功，一定要掌握好，观察和联想是紧密结合的。一般是根据题目中的词语或关键词，根据已知条件和结论在数形两方面的各种特征特点来进行联想。在这里强调基于特征的联想和见微知著联想，它们都属于解题策略。基于特征的联想，根据题目中的各种特征来展开联想和合理设想想象，顺应特征，在这些特征上面做文章，思考和反思如何利用好这些特征。数学题中具有各种特征：数值特征、关系特征、结构特征包括位置特征、图形特征、性质特征、规律规则特征。数值特征，在解题时要关注推敲题目中的特征数值，不要视而不见，例如题目中的数值0.5、1、2、7、16，或一组数如3、4、5或5、12、13，或角度15度、30度、75度、90度等特殊值、极端值、边界值，当然并不是说所有题目中的所有数值都要这样关注，有的题目中的数值就是一个单纯的数，不具有展开联想的价值。性质特征：数学概念和数学对象性质关联的特征，例如题目中出现三角形，我们要联想到三角形这个概念具有的各种共性的性质(例如三角形两边之差小于第三边，之和大于第三边)以及这个特定的三角形对象的特有性质。

  见微知著从蛛丝马迹中联想和猜想，窥一斑而见全豹，从小见大，从局部到整体的联想，例如在几何题中要有大局观整体观，看到题目的图形(这个图形其实是残缺的)，能想到完整的图形，能很快意识都要通过作辅助线补成完整的图形。和见微知著相反，也存在整体到局部的联想和推理，例如我们在已知整体具有某种性质的情况下，可以联想和推断整体中的各组成部分(局部对象)也具有某种性质。

  类似联想，同声相应，同气相求。在数学联想中，也有类似的思维共鸣，例如几何题中由已知条件中的中点，由此及彼联想到另一条线段的中点（该中点不在已知条件中，是我们解题过程中联想出来的），再联想到中位线，再继续思维发酵，像滚雪球一样。

  类比：也是经常在生活中用到，就是基于相似性的推理类推，举一反三；用来进行类比的对象一般是通过联想来获得，联想要把两个对象联系起来思考，有时也离不开类比，特别是相似相近对象，因此联想类比往往是交织在一起的。

  通过丰富的合理的联想、类比和设想想象，我们在问题和自己熟悉的知识点、经验之间穿针引线，架起一座联系沟通的桥梁，或移植借鉴已有的经验和方法，实现未知到已知、不熟悉到熟悉、复杂到简单的转化，启发促进我们形成解题思路。

  相似性思维： 自然中处处存在相似，工程实践中也经常运用到相似性，例如航空工业中用飞机模型加风洞实验来模拟飞机的实际飞行。相似性原则是揭示自然界、人类社会、思维发展规律的一个基本原理。先学习下百度百科中的相似性原则或相似性原理，网址https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E6%80%A7%E5%8E%9F%E5%88%99/11013740 。没有完全相同的两个事物，但存在很多相似或相近的事物或在模式上相同或相近的事物。

根据相似对象的粒度，可分为局部相似性和整体相似性。局部相似:A中的A1(A1是A的一部分)与B中的B1相似，或A与B中的B1相似。整体相似：A与B相似。

  在数学中，也存在非常多的相似性，例如几何图形的相似、代数式结构之间的相似、方程与不等式的相似、分数与分式的相似、平面几何与立体几何的相似。相似性思维是数学思维中的常用的一种思维方式，基于相似性展开我们的思维活动，例如相似联想或见微知著的联想(对局部相似)。

  在代数和几何问题中我们也经常运用相似性思维，有时还要把相似变化为/转化为相同，或把局部相似变为整体相似，例如运用比较--拼凑或比较--填补或比较--逼近或比较-调整，两个事物相似而不是相同，所以它们还是存在一些差异，通过比较或差异分析法得到差异，再运用拼凑、填补、分割、逼近、调整变形等缩小差异或消除差异。

  直接相似性与间接相似性：直接相似性相对容易识别出来。

  识别间接相似性需要洞见，需要见微知著的敏锐意识，需要想象力、创造力、联想能力。例如A与B存在间接相似，可能要把A转化为A'后，发现A'与B存在整体相似性，或局部相似：A'中的一部分与B相似或与B中的某一部分相似。有时甚至连B都不存在，只有A，我们需要把B构想出来。或最开始只知道A1，通过思维活动构想出B或联想到B，再参照B照猫画虎把A构想出来，这种情况下A1是A的一部分，A和B相似，B是一个模板&模式。

  合情推理&合理合理的猜想&设想&构想&直观想象：解题要解法自然，离不开数学思维方法论指导下的分析推理，推理包含严密的逻辑推理与非严格的合情合理推理。数学思维不全是严谨性，还需要灵感、直觉和猜想。在解题方案层面，也要有大胆的灵活的活泼的合情合理的猜想、设想、构想、想象、推理。合理设想是创新性的探索型思维。在日常中，我们会根据掌握的情况进行一些猜测、设想和想象，对美好理想的设想 ，对日常生活中某件事情如何发展的设想，在破案中对案情的设想和推理。合情合理猜想常用的是归纳和类比，但直觉和经验也是必不可少，特别是面向特征和模式识别的解题策略，识别出问题中的特征和模式后，这些特征和模式是指引解题突破口的线索和暗示，是解题思路的风向标，象庖丁解牛一样顺应这些解题线索，合情合理地自然地大胆设想解题突破口和下一步的中间(中途点)结论或最终结论。在数学解题中，除了广泛利用联想来探索解题途径，很多场景下，也要运用猜想、设想、理想化的想象来探索解题方案，高屋建瓴指方向定目标，从纷繁的或混沌的状态中找出几条比较可能的解题途径和解题方向进行探索，例如因式分解中的待定系数法也运用了合理设想，几何题中也经常会大胆运用合理设想直观想象来帮助作辅助线和几何变换。大胆猜想，严谨验证，对数学解题中的猜想，后面要经过严谨完备的证明和验证。

爱因斯坦：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着社会进步，并且是知识进化的源泉。”。在数学解题中，我们要根据题目中条件和结论的特征，合情合理地发挥想象力，设想数学模式，构想出数学模式，构造出数学模式。

  符号化思想：符号在现实生活中处处可见，例如象形文字、图腾符号、吉祥图案都是符号。数学符号是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的，它是一种抽象概括。一个数学符号一旦产生并被广泛应用，它就具有明确的含义，就能够进行精确的数学运算和推理证明，因而它具有精确性。数学符号使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点。特别是国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号也是一种暗示信息，具有暗示功能，这些暗示可以启发我们的解题思路，要懂这些暗示。

  比较：在日常生活中我们经常把自己的孩子和别人家的孩子比来凸显差距差异，购物时货比三家。总的来说就是在两个或多个事物之间进行多维度多方面的对比。在数学解题中，也要运用比较，将两个(或多个)数学对象进行比较(例如已知条件与结论，某个代数式和目标代数式),就知道了差异,有差异就有了不统一，就有了辩证法中的矛盾。要进行比较，首先要找出做比较的目标对象。目标对象可能就在题目中(例如有时结论就是目标对象，或代数式中的某个片段对象)，也可能是学过的知识点例如某个公式、定理、模式、关系、结构或某个几何模型，也可能是做过的一些题目，也可能是通过观察、联想、类比、分析综合、矛盾分析法、合理设想猜想等找出来的一些对象，也能是运用解题策略之后发现的一些对象。有了目标对象并进行比较知晓了差异之后，就知道了行动方向，通常是想办法采取行动，缺啥补啥，例如进行代数式变形，缩小和目标对象的差异，向目标对象靠近，贴近对齐目标对象。如果比较的目标对象是知识点，那就运用找出来的知识点，例如对照知识点对题目中的代数式或几何图形进行变形、变化和改造。比较可以是在粒度大小接近的对象之间，也可以是在粒度不同的对象之间，例如拿局部和整体比较，类似于见微知著，例如看到较小的A对象，根据其形态，特征、特点联想到较大的B对象(目标)，然后比较A和B的差异，知道差异后，想办法(采取行动，例如运用变形和某些数学方法，例如平方等)把A转化成B，和B对齐，相反也可以从大到小的方向比较和采取行动。有时用来比较的目标对象在题目中就存在，例如题目中的最终结论和中途点就是目标对象，或很容易发现，有时需要我们联想、类比出来或设想出来(这和日常工作中找对标目标和假想目标类似)，合情合理的设想出来，猜想出来。

在解题思维过程中，比较有时还和选择和择优联系在一起，例如分析法中，我们从结论倒推对应的充分条件时，如果有多个充分条件，我们通常要比较或根据题目的已知条件和已学知识，选择一种充分条件。

对称思想或对偶思想：这个应该很熟悉，对称性、对称关系、对称美在生活中很常见，每天照镜子就是镜像对称，人的左右手也是对称的。在数学中的对称，例如相反数、几何中的中心对称和轴对称、复数中的共轭。对称对偶不只限于图形的对称性，很多要从形式上、关系上进行理解，例如平方差公式中的a+b和a-b，其结构形式就存在一定程度的对称性，还有代数式中的轮换对称性。对称或对偶思想，就是关注事物或情况之间对称对偶关系，利用对称关系或根据对称性，探索与其存在对称关系的另一个对象，例如分式有理化中，由分母中的，联想到对应的。对称对偶性，通常和等价、互补有紧密的联系，例如正负、阴阳、男女。

分类：分门别类，把人分亲疏贵贱也是很熟练。在数学中，通过分类，把混沌的、难以统一处理问题划分为转化为多个相对好解决的较小的问题，分情况进行讨论和处理，这也体现了化整为零、分而治之的思想，有时还要进行多级分类。分组，通常也体现了分类。一些具体的分类运用，例如合并同类项，表现为高内聚、参数分离法、动静分离、xxx分离。有分有合，分类讨论处理之后，最后一般要进行综合和归并处理。

运用分类思想，首先要根据问题case中对象的特征，识别总结出分类的标准和分类的维度和维度值(例如以性别作为一个分类维度，它就具有两个维度值：男、女)。这又涉及到抽象、临界边界、质变量变分析、总结归纳等方法的运用，从问题中提取分类的维度和维度值，要掌握一些分类的常识，例如根据角色或职责来进行分类，具体的就是代数式中的主元法就有按角色进行分类的意识；从临界情况中发现分类标准，例如临界点或突变点左右两侧要分类讨论。

有时可以根据问题中的对称性、等价性，缩减分类讨论的情况(case)数量，例如不等式题中，如果多个变量之间具有轮换对称性，我们利用轮换对称性和有序化之后，就不需要分类讨论，只需讨论一种情况。有时虽然没有对称性，但几种情况之间具有等价性或较大相似性，可以按同理解决。

这里介绍可能会用到分类法的一种场景。在问题中如果有“顾此失彼”、进退两难的情况，就像跷跷板，一端落下，另一端就翘起，按下葫芦浮起瓢，它们之间也不具有对称性或等价性，此时有可能要用分类法进行分类讨论或用反证法。

转化&化归&转移：转换&划归是一种非常重要的思想方法，它是解题的利器，曹冲称象就是巧妙地运用了等价转化。转化时要运用各种变化变换变通手段，孙悟空和二郎神斗法七十二变是变熟悉为不熟悉好骗过二郎神，我们在数学中运用转化思想是把问题中的已知条件或约束等翻译成用数学符号表达的数学语言数学对象，或把不熟悉的问题变成熟悉的问题，把未知转化成已知，把不好处理的变成相对好处理的，把具体特殊的变成抽象一般的或相反、把晦涩隐藏的关系、结构、特征变成凸显，明确清晰的、把难点/复杂变成不太难/简单/简化，化繁为简(化繁琐到简单便利)，化难为易，也就是把题目中的难点和矛盾(此处的矛盾是辩证法中的矛盾不是逻辑矛盾，在第三篇中的矛盾分析法中有介绍)进行转化和改造和消除，把不好的关系进行改造或转化，从一种形式变成另一种形式，例如几何题添加辅助线和几何变换就是为了改造几何图形中难以处理的关系和创造新的关系；基于已知条件和掌握的知识点、经验，结合分析综合法进行推理，把问题或目标、已知条件等从一种类型/形式变成另一种类型/形式，把A问题变成B问题。转化相比其他数学思想方法(例如联想类比等)和解题策略，它是高层的思想方法，也就是我们运用其他大多数数学思想方法的终极目的就是为了实现转化。辩证法矛盾的相互转化，在数学题的条件和条件之间、条件和结论之间就存在矛盾，而转化的目的就是转化矛盾消除差异，进而解决矛盾。

  解题要随形就势，顺应题目中的规律、关系、特征加以利用，题目中有的特征和关系比较好利用，比较顺手，有的不便于直接使用，对这些妨碍解题的矛盾的特征和关系要进行改造化解和转化。

  转化与关系思想的关系前面已经有讲解，在运用转化、关系传递性、关系链时，思维表现上有一定的跳跃性，其实是有连贯性的，要注意上下文中的各种关系，特别是横向和纵向方向的关系、关联，思维视角要能快速切换。

  转化有等价转化与不等价转化，等价转化用的较多，但不等价转化有时也能派上用场。

  在转化时，通常要遵循熟悉化、简单化、直观化、和谐化、具体化、抽象化、标准化等原则。

转移，在生活中移花接木和移形换位，例如果树的嫁接、搬家、移动家具的位置，改造房屋结构，这都是改造矛盾或转移矛盾。在数学解题中，通过观察、直觉、矛盾分析法等可以发现数学题中的数学对象在结构布局&位置关系方面存在不协调现象，然后通过各种操作手段（例如几何中的各种变换：旋转、平移、对称和各种构造，例如构造全等或构造相似或构造其他图形结构；代数式中的移项）来移动代数和几何图形中的数学对象，或把这些对象相关联的对象移动到新的位置，另一种是思维上或思想上的转移，改变思维视角，切换到新的思维方式或新的思想方法，这些都是数学中的转移。通过转移可以构建组合出新的结构关系或表征形式或切换到新的思维视角。

转移一般和组合思想、构造思想有关联，转移时，一般运用各种变换(例如几何中的旋转变换、平移等)、各种变化或移动手段。

抽象：抽象思维是必须要掌握的极其重要的思维方法。抽象思维是人们在认识活动中运用概念、判断、推理等思维形式，对客观现实进行间接的、概括的反映的过程。属于理性认识阶段。现实生活中，抽取事物共同的（共性）本质的属性形成各种概念名词，利用筛子过滤杂质，留下需要的。在数学中通过抽象，我们把具体问题特殊问题转化成抽象问题，一般问题。对题目中的共性和同构特征，我们一般会抽象出统一的模型。

形象思维&数形结合：一图胜千言，我们在日常生活中利用图形/图像/图表的直观性来说明问题和解决问题,艺术家特别是画家最为娴熟形象思维。在数学物理等学科中也经常用到，数学、物理课本中的各种示意图，物理中的磁力线，数学中的二次曲线。在小学低年级，对一些应用题，在没学过解方程的情况下，我们把题目中的已知条件和结论用线段和其他图形表示出来，利用图形的直观性来更好地理解问题，来发现对象之间的关系。在初中阶段，解几何题时，我们运用形象思维，观察几何图形，结合已知条件，激发我们进行合理的想象和设想，找感觉，在图上画一画，帮助我们探索如何作辅助线和几何变换。数学中，数形结合是一种重要的思想方法，在第3篇系列文章中有具体运用。

  归纳：从有限个具体情况总结概括出一般结论和规律，是从具体、特殊到一般的过程。我们有时要以退为进，从抽象或复杂的问题退到具体的或简单的问题，研究清楚了具体简单的之后，再回到抽象复杂的问题上。

  整体思想/系统思维：在生活中例如购物时用大塑料袋将购买的多个小商品装起来，打包整体处理，在回家途中不用关心包中的小商品，只需提好袋子就行。系统中的各个部分是相互联系的，我们追求整体最优或全盘全局综合考虑问题，系统化的思考问题，而不是过度陷入到局部/部分中出不来，看不清全局问题。做数学题，不要着急，要把题目看完整了，把前后对象(元素或问题)之间的关系(联系)搞清楚了再开始做题；有时要把题目中一些复杂的多个部分看成一个整体，例如方程或代数式中的换元法就体现了整体思想。转变思路，从整体视角看问题，把零散的或相互联系的对象看成一个有机的整体来思考问题。在几何题中要有大局观和见微知著(从部分到整体)的联想想象能力，能敏锐地从残缺不全的图形结构想到完整的几何图形，也就是作辅助线或几何变换把几何结构补全。

  整体思想和大局观在解题中的一种表现是在解题上下文中，在解题过程推进到当前位置时，要能识别和发现前面的一些已知条件和中间结论的关联关系，特别是在开头位置的，纵向横向的前后左右上下的数学对象都要能时刻敏锐地关联起来，要发现它们之间存在的隐藏关系和隐藏的模式，要眼观六路耳听八方，瞻前顾后建构关系或识别出隐藏的关系，例如解复杂几何题，有时就要发现两个相距较远的数学对象之间的相等关系或相似关系。

组合(集成)思想：组合就是结构重组。组合思想是具有创新性的思想，小朋友玩积木，用积木拼出各种形状的物体就是组合思想；化学中的化学反应，几种物质放在一起发生反应生成新的物质。在数学解题过程中，把多个数学对象用算子(operator，例如加减乘除、平方、各种代数变换、几何变换)组合起来，也就是进行各种组合变换，产生新的数学对象和新的关系，例如把两个方程式相加减或相乘除，产生一个新的方程式；把几何题图形中的一些数学对象通过几何变换集中在一起，例如对线段进行平移，产生新的几何结构和关系，或对一些数学对象例如三角形进行旋转变换，通过组合产生新的几何结构。组合思想相对关系思想而言，它属于实现层，也就是通过组合(这里的"组合"是动词)来构建关系，”组合关系”是最常见最基础的一种关系，在前面讲关系思想时，提到过"组合关系"。

  局部调整：在幼儿园小朋友从低到高排队时，让两个小朋友(少数人)彼此交换位置，经过若干次后，整个队列就有序了；小朋友玩魔方也是从一个初始状态一步步调整，最终到目标状态。如果问题涉及到多种因素或多维度，我们固定大多数因素不变，只考虑少数因素变化时的影响，这样就简单了，或先得到一个初步结果(初步答案），在这个结果基础上进行调整优化，逐步逼近最终结果。

  逼近思想：也可称作接近思想，是转化的一种特殊形式。我们在日常中有些事情或目标不能直接一步到位，往往需要多次或一个过程来一步步接近(趋近)设想的目标，例如旅行，一般是先确定目的地和方向，规划线路和交通工具，一步步到达目的地，还有工作中制定各种计划，一般也是多阶段实现最终的计划目标。在数学中有时也会利用逼近思想，例如割圆术、求最大公约数的辗转相除法、近似计算中的各种迭代算法、求极限。

 数学中的局部调整也体现逐步逼近，它是固定一些变量来进行调整和逼近。联想中的接近联想、类比和比较中发现事物之间（在数学中就是问题和学过的知识）存在整体或局部的相似性，从而运用这种相近的联系。例如数学题的形或质与我们学过的知识有些相近，那我们就试探把数学题一步步向靠近该知识的形或质的方向进行变形转化。

  要运用好逼近思想，首先要找出需要接近的目标，很多情况下，题目中的已知条件、已知结论、已知题目、已知方法、熟悉的知识和方法就是目标，也就是向已知靠近向熟悉的靠近。如果没有现成的目标，就要通过观察、比较、联想类比、合理设想、模式识别等思想方法得出目标：发现题目中的一些对象和题目中的另一些对象的结构模式有些相像或接近，或者题目中的一些对象和某个知识点的结构形式比较接近，或结论与已知条件或结论与中间结论或结论与学过的知识点例如某公式或原题与先前做过的题之间存在局部的相似性。下一步要想法缩短两者的“距离”：虽然比较接近或相似，但还是存在差异，此时我们可以综合运用比较思想、对应思想、转化思想、模式识别思想、合理设想、局部调整、逐步逼近思想，变出和目标越来越接近的形式，逐步缩小差距，和目标越来越靠近，最终达到形式上的一致，从而解决问题。

  代数式，方程式的灵活变形，一般是先确定目标或方向，再通过各种换元、拼凑、分拆、拆补、各种代数运算(平方、加减乘除等)、等式左右两边移项等手段来接近目标，大多也体现逐步逼近思想。极限和微积中也运用到逼近思想。

模式思想：生活中，如果一个动物看起来像鸭子（原型）、走起路来像鸭子、叫起来像鸭子，那它就是鸭子。这里的原型（抽象概念上的鸭子）就是一种模式&模型，我们把这个动物和原型进行对比匹配，识别出它是一只鸭子或把它看成一只鸭子或归类为鸭子，这就是模式识别。数学中的模式识别就是指对于一些数学问题，根据题目中的条件和结论的一些特征，联想已有的原型(学过的知识、问题、经验)，迅速和已知的熟悉的问题和知识进行相似性近似性匹配（这种相似性可以是局部的也可能是整体的），识别出问题的类型，把问题转化化归为熟悉问题和熟悉方法,重用原型来解决数学问题。它和观察、比较、联想、类比、关系思想、抽象（抽取本质共性或相似性、同构、识别同构模式，形成统一的模型），同化与顺应、逐步逼近思想都有关系，一般在解题中要综合使用这些思想。

数学解题中的模式识别，要用敏锐的数学眼光从多个维度/多个侧面/多个视角去观察和看待各种事物包括数学对象，拨云见日，看透马甲，识别出其数学本质或者把它们看成数学领域中的某种事物。例如整体换元法就需要先把代数式中的某个复杂对象看成一个整体，或者说要先识别出这个整体对象。再比如看到,我们可以根据该代数式的结构特征把它看成向量的数量积，或者说识别为向量数量积模式:

=。

数学是模式的科学，模式是数学的核心研究对象，数学中的所有对象包括关系和结构都是模式或者说都具有模式的性质，这就是数学的模式观。基于模式思想，它启发我们在思维过程中要注意探求模式、识别模式、构建模式、定义模式、转换模式、利用模式。

  有序化 (秩序)：日常生活中我们按一些规则和标准对乱序的事物进行调整，让它们恢复秩序，显得有条理。例如整理凌乱的房间、对队伍按身高排序。

  逆向思维：在生活中反其道而行，反传统反常规，青春期的叛逆和逆反心理，在行动和心理上偏偏和大人教导的相反。转变思维方向，把常规思考问题的顺序 (从已知条件到结论)颠倒一下，改成从结论开始往前思考和计算推理；分析法中通过结果来反推出原因，通过结果反推出充要条件；碰壁失败后质疑先前的方法，总结失败方法的特点之后才能真正做到打破思维定势，迷途知返，否定先前的方法，调整先前的方法，或干脆跳到其他解决方案和方法上，这其中也用到逆向思维；反证法就是运用了逆向思维。辩证法中各种对立的矛盾双方的相互转化也包含有逆向思维思想,例如从抽象到具体，从具体到抽象，从一般到特殊，从特殊到一般，直接到间接，数形结合中的从数到形，或从形到数，从开到关，从关到开，正难则反。有时对边界约束，如果我们看不清临界点处的情况，此时我们反而要考察超出临界点的情况，得到启发和经验后，再反过来就很容易看清临界点的情况，这里也有否定之否定的意思。

  反思也属于逆向思维。在日常生活中和解决问题过程中，通常会碰到挫折和走一些弯路，我们通过反思这些挫折和弯路，从而帮助我们找到正确的方法。在探索数学解题方法的过程中，否定之否定的反思调整几乎也是必不可少的，非常重要。失败是成功之母，失败是有价值的，不要害怕失败，要利用好失败，要辩证的看待失败和成功，不要对失败的方法弃之不理，而是要对失败的方法进行反思分析，在此基础上对失败或不理想的解题方法进行多维度深入评估、调整、否定之后，通常能帮助我们找到正确的方法，吃一堑 长一智，做到一计不成再生一计。在解题过程中思路受阻时，要反问反省目前的状态，反问自己：是否利用完了所有的已知条件，还有哪些条件没用？是否利用好了已知条件？如何利用好已知条件？目前的方法有什么特点和局限？是否能换个角度跳出思维定势来调整下目前的方法或如何基于目前方法的特点来否定该方法而得出新的方法？是否能在题目中找出一些新的关系、创造关系(想法让数学对象之间发生关联，产生关系，例如把两个方程式相乘来创造出新的关系，或作辅助线来沟通关系或凸显关系或创造关系，再利用这些关系来解题，来转化问题)？是否能转化问题？还能联想到什么？还能类比什么？还有哪些数学思想方法和解题策略没用使用？

  解题完成之后，无论是成功还是失败，也要进行反思总结，对做的好的，看自己的收获有哪些，对做的不好的题特别是做错的或一点思路都没有的，反思原因是什么，存在哪些问题，有什么体会和收获。是自己的某些知识点没掌握好？计算出错？审题不仔细？在思维方面没有运用好数学思想方法？复盘先前的思维过程，追问自己当时为何没想到这个解题方法和思想方法，怎样才能想到，也就是要在失败基础上反思解题过程中出现的问题，反思需要改进调整的地方。解题总结：通过解这道题，我学到了什么，哪些地方需要改进，这题运用了哪些数学思想方法，能总结出哪些思想方法和新的解题技巧方法或思维技巧。

反思后一般要进行调整，调整的力度，可大可小，小的就是微调，最大的调整就是180度否定式逆向的调整。

  运动(动态)思想：辩证法中说运动是绝对的，运动就是变化，就是发展。体育锻炼就是通过运动来锻炼身体，在数学中有函数、微积分来刻画和研究事物变化的规律，另外在解题时，我们除了研究静态情况，还要通过动态分析来找到隐藏的规律、特征和解题突破口，例如让几何题中的一些对象沿某些轨迹运动、割补、或作几何变换（旋转、平移、对称变换等）达到移花接木、移形换位的效果，设想某些变量值从小到大或从大到小变化，在运动变化过程中发现考察隐藏其中的规律。运动在数学中是无处不在的，我们从已知条件到结论的整个过程(或相反，从结论进行逆向分析)中进行各种变形各种变换(例如代数式的变形、因式分解的分分合合、几何图形的平移、旋转)，各种逻辑推理和运算，都是体现了运动变化，包括我们的思维视角、思维的形式、思维的内容也在运动变化或反思调整，例如从一个事物联想到另一个事物，思考的内容从抽象转到具体，或从具体转到抽象，从一般转到特殊。另外运动发展观也提醒我们不要墨守成规，不能固化自己的思想，要有大胆创新精神。

  构造：”有条件要上，没有条件创造条件也要上！”。构造最能体现创新思维，在各种生产活动中，在日常生活中，当家庭人口增多而居住条件不能满足需求时，在有资金和土地及审批许可下，我们通常会建新房而不是在原来的老房子上想办法。类似地，在数学也存在这种创新性的活动，对有些数学问题，如果我们按照常规思路不容易找到解题方法时，根据题目的特征，重起炉灶，另辟蹊径，重构问题上下文（场景重构），也就是构建一个新的数学模型或数学对象(例如几何图形、图表、方程、函数、数列、等式、不等式、集合、向量、行列式等)，围绕这个新构建的模型来思考问题，从而转化问题，消除矛盾，最终解决原问题。例如数形结合中的代数问题转化成几何图形，我们根据代数式的几何意义，构造出对应的几何图形，根据图形的直观性来得出需要的结论，这里的代数式问题包括结论就是子，几何图形就是母。在抽象思维和归纳思维中，我们根据多个具体的实例来构造出统一的模型或结论。在解几何题时，通过加辅助线或几何变换(旋转、平移、对称等)对几何题中结构格局不好的地方进行图形结构上的改造，或将几何题中图形的结构关系和数量关系重新进行组合，整合产生新的几何结构或拉近多个几何对象之间的关系(例如通过旋转、平移或其他方式把一些分散的、位置上相隔较远的几何对象几何元素或关系不密切的几何对象集中在一起，集中在熟悉的几何模型中)，这些也属于构造法的运用。组合数学的母函数(生成函数)也体现了构造法思想。

  为何要构造？事物的运动变化是需要满足一定条件的，数学定理&数学公式的使用、问题的状态变化都需要一定的条件，辩证法矛盾观指出，矛盾的转化需要一定的条件。有些数学题的局势不好，根据矛盾分析法可发现题目中缺少转化的一些必备条件(条件不齐全)，导致问题的解决陷入僵局。我们要有创造性思维和破局思维，没有条件就要创造条件，缺少哪些就补哪些。而”构造”正是创造条件的一种实现手段，通过构造，产生一些新的数学对象和新的关系，改变局势，补齐缺少的条件，打破僵局。

  为什么这样构造？在观察、矛盾分析、自身知识储备、自身经验的基础上，结合多种思维形式，我们可按驱动构造的数学思想对构造进行分类，例如：

1）多元表征构造，例如数形结合思想中，由数到形，根据代数表征，构造对应的几何(图形)表征，或反过来，由形到数进行构造。或根据算两次思想进行的构造。

2）根据本质横向溯源的构造。横向返本归源构造出本真的、本质的、起源性的数学对象，例如构造母函数。构造出的数学对象通常与原问题中的条件或结论存在母子或衍生关系，构造出的对象是源头是母对象。

3) 赋义构造，对条件或结论赋予新的意义或等价的意义从而构造新的模型。

4）根据高观点的纵向构造。

5）根据局部相同/相近(相似)的构造，也就是根据相似性思维，见微知著进行构造或变形。这种构造通常涉及到两个对象，一小一大。相同/相近，一般是一小一大两个数学对象在结构(几何图形结构、代数结构)上存在局部的相同/相近，或条件存在部分相同。例如根据一个几何图形的局部与完整几何模型存在相同或相近，或几何图形中一些局部图形(它相对而言不完整，属于小对象)的属性与另一部分(它是相对完整的大对象)存在相等或相似关系，我们比照完整的对象，通过构造补齐小对象。这种类型的构造在解题中使用的应该是最多的。

6）反向构造，例如构造反例、构造对偶对象。

7）基于补美和完形思想的构造。

8）由隐到显(由虚到实)的构造。把隐藏的或虚拟(虚构)的对象构造出来，让它显性存在，可视化，实在化。

9）根据组合思想的构造。

10）基于约束的构造。

  分析与综合：这个在日常事务中不可缺少，分析法与综合法学过初中数学的应该都知道，就不介绍了。分析法和综合法通常要结合比较思想，比较理想和现实的差距，理想就是结论或设想的一些中间目标，现实就是问题目前的现状，包括已知条件。这里介绍一种特殊的分析法，辩证法中的矛盾分析法。其实在数学中矛盾分析法也是大有用武之地，难题之所以成为难题，很可能是因为题目中存在一些矛盾的地方，矛盾就是差距或不协调不配合的地方，例如条件与条件之间的矛盾、条件与结论的矛盾，在没有进行深入的矛盾分析之前，我们只是总体上感觉题目难解，对解题方向几乎比较茫然，当我们通过矛盾分析法，把棘手的矛盾找出来后就能确定下一步的行动方向，即想法朝着化解矛盾转化矛盾的方向努力。

递推与递归思想：递推和递归都表现为某种模式关系的重复循环性。不积跬步无以至千里，递推利用前驱和后继的关联关系，从起点(基础)开始按照某种模式进行重复延展，就好比项链一环套一环，或个体事物的层叠，例如建楼房时从底层开始一层层往上建。数学中的斐波那契数列就是递推的典型例子。递推和递归的区别：在方向上顺序上，递推是从简单到复杂，从起点开始向终点一步步发展变化，到达问题终点，是向外发散的；递归相反，是从复杂到简单，从问题终点开始向起点方向化归，分而治之降低问题规模和复杂性，一步步逼近起点，是向内收敛的。

算两次思想：日常生活中，收银员或财务人员对大额现金，一般会算两次，一次是手工数，一次是用点钞机，当然还有附加功能，可以验证假币。将同一个量或关系从两个不同角度计算两次，正所谓殊途同归，从而建立等式关系(两条不同的途径算出来的表达式在等号的左右两边)。这个思想经常用来列方程式或其他等式时经常用到，等号左右两边的式子就是分别从不同的角度对同一个量的计算。对数学题中的一些不变量，例如年龄差，也是用算两次来列等式；相似三角形中的两个三角形对应边的比(相似比)不变。

  试验：日常生活中我们对把握较小的事情会做实验，走一步看一步，根据情况随时调整方案。数学不是完全理性和逻辑，也有试验试探。有些题，开始阶段不一定看得清楚，这时我们根据直觉、经验和问题中的一些蛛丝马迹进行合理的设想，在草稿纸上写一写，画一画，有时这样做一下，下一步可能就找到解题突破口了，不要坐在那干想，要动一下。对抽象的数学题或数值较大的数学题，取几个具体的、特殊的、简单的情况试一下，对变量，取几个具体数值带入到代数式中试一下，再根据试验结果(输出)进行归纳或从试验结果中获得启发(获得一些蛛丝马迹、隐藏的规律、关系、模式)与感性认识。

  模糊化思想：日常生活中常说难得糊涂，该放下的就放下。什么？数学不是讲严谨和缜密吗？这个不矛盾，对一些数学难题，解题过程中的思路和框架开始阶段是不怎么明确的，有时是大的方面相对明确或整体上是相对明确的，但小的方面如一些细节还比较模糊或不确定，但最终的结果是明确的严谨的。其实假设法、估值、设未知数解方程、待定系数法都活动或多或少体现了模糊思想，先抓大放小，从总体上大范围上把握问题。另外还有一门分支叫模糊数学。

  对象化&概念化思想：万事万物都是对象，对象之间存在各种联系和关系。软件行业中有面向对象的分析、设计和编程。概念，下定义也是很常见的，包括概念的内涵和外延。数学解题中，除了在数学知识中碰到的对象和题目中明显出现的对象，还要主动发现和识别出题目中(已知条件、结论、解题过程中)隐藏的对象或主动创造一个对象，把一些几何或代数结构或对象关系看成一个对象，通过定义、构造、指代(例如整体换元)来物化(物化思维，把一些比较无形的虚的事物进行物理上的物质化、实在化)出实实在在的数学对象，例如a=2b,我们可以把这个关系运用构造法进行物化，产生一个实体对象a'，它的值为2b，这里的a'可认为是a的孪生 。

  概念化&对象化思想就是识别出数学题中隐藏的重要的概念和对象，对它们进行命名，方便研究和处理。和软件中的对象一样，数学中的对象也可有属性，例如求m+n的最大值，名不正则言不顺，不对这个组合体m+n单独取名字会导致解题受阻和对解题过程的描述复杂化，所以我们把m+n看做一个对象，求什么就设什么，故设(令)m+n=a，给这个对象一个名分，用符号a来命名&指代&代表这个对象，把它纳入对象系统、对象模型结构、对象关系中，在后续的解题过程中利用a参与和其他对象的各种交互：运算、处理、转换、变形等。最大值可以理解成是a的一个属性。对象化体现了代数思想、整体思想、构造思想、符号化思想、编码标识思想，而我们常用的换元法体现和运用了对象化思想。

  维度思想：维度分析，识别决定事物的维度，例如决定矩形大小需要两维；决定从多个维度来看问题，一题多解就是运用了维度思想。识别出维度，变化&切换维度视角、变换角色、维度思想。在实际运用过程中，为了降低复杂性，有时要降维、最小化维度，参数化思想其实也是为了降维，减少数学问题中涉及到的变量的数量。

  辩证法运动观、否定之否定与多样性思想：

恩格斯说：“运动，就它被理解为存在方式，被理解为物质的固有属性这一最一般的意义来说，囊括宇宙中发生的一切变化和过程，从单纯的位置变动起直到思维。”

可见数学中的各种转化、变形（例如代数式变形）、变换（例如几何中的平移变换、旋转变换）、解题方法中从第一步到最后一步、解题时的思维活动包括思维视角的切换、思维的反思、思维监控调整等，这些都是运动。

运动与静止的关系。静止是物质运动在一定条件下的稳定状态，包括空间位置和根本性质暂时未变这样两种运动的特殊状态。

运动的绝对性体现了物质运动的变动性、无条件性。静止的相对性体现了物质运动的稳定性、有条件性。运动和静止相互依赖、相互渗透、相互包含，“动中有静、静中有动”。无条件的绝对运动和有条件的相对静止构成了事物的矛盾运动。只有把握了运动和静止的辩证关系，才能正确理解物质世界及其运动形式的多样性，才能理解认识和改造世界的可能性。

世界是复杂的，多姿多彩的，是多元的/多样的/多面的，所以我们解决问题的思维、思想、模式、方法手段也应该是多样的多元的，没有银弹，不能”手里拿着锤子,看什么都像是钉子”，多样性也是多变性，无常不固定，法无定法，式无常式，要象孙悟空那样具有灵活的多般变化的本领。

    由辩证法的运动发展观可知，运动变化是永恒的，变化就意味着事物存在多样性。对多样性更透彻的理解是佛法中的缘起性空/无自性/无常、金刚经著名的三段论（说x,既非x,是名x）、无我相&无人相&无X相，不要执着于暂时的存在&幻有&幻相，要根据实际情况随机应变，不要固守着旧有的、单一的事物、思想观念、模式、方法。

    运动观和运动形式的多样性反映到数学思维中：思维形式、思维方式和思想方法是多元的，存在多种思维形式、多种思维方式和多种思想方法，不能单一，也无法单一、解题思维过程中应该综合运用多种思维形式和思想方法、在解题思维过程中根据实际情况切换思维方式和思想方法（从一种思想方法切换到另一种思想）、一题多解、转化&数学变换&数学变形、数学对象的多元表征、变式训练。

    这里以数学对象的多元表征来举例说明运动观、运动形式的多样性、多变性和否定之否定。数学问题中数学对象的表征是多样的多面的，这些表征是相互联系相互转化的。多元表征中的转换或切换，就是从一种表征形式转换为或变形为另一种，例如数形结合中的代数表征转换到几何意义上的图形表征。再比如数学题中的数字1或其他常数，在解题时不能有固化思维或思维定势认为这些常数是静止不变的，根据辩证法的运动观和运动形式的多样性、多变形，我们首先在思想上要有变化意识和多样性意识，没有这些意识，你解题时根本就不会想到常数也会变化，想不到这些常数也是可能会变化或需要变化的：对某道数学题中的数字1，可能要从”1“这种表征形式，变为。

这些多种表象/表征在结构形式上和”1”是不一样的，它们非1，不是1，是对”1“这种表征形式的否定，但它们在数量维度上又是1，或等价于1，这又是肯定，综合起来就是否定之否定。按金刚经的三段论来理解，就是：说1，即非1，是名1。对a也是如此，和a有些不一样，说a，即非a，是名a。

金刚经三段论的数学理解举例

  事物的多样性/多面性通常是内隐的、不明显的，外显呈现给你的通常只是其中的一面一样，我们要综合运用多种思维和思想方法找出内隐的多样性存在，例如找出内隐的另一种表征,例如看到数学题中的数字1，不要认为这个1只能是这种表征形式。解题时可能从它外显的表征形式"1",找到另一种表征，也就是把1变形为另一种表征形式才行。

    运用多样性思想和运动思想，首先要在思想上要有多样性和运动变化的清醒意识，要认识到任何事物都是有可能变化的，或需要变化的，这也符合辩证法运动观。

    多样性就是多变性&无常，在反思的基础上，运用发散思维、辩证思维、实验思维等思维方法和各种思想方法，多问问自己还能怎么变，还能变哪里（改变思维方式、改变思想方法、用另一种变换方式改变数学对象的某一局部或整个数学对象）。灵活地多维度地进行变化调整，例如代数式的灵活变形和几何题的各种几何变换。

功能思想：也可称为功效&效应思想。生活中需要了解事物的功能或效应&效果&角色职责，以备不时之需，例如电阻丝通电后有热效应，我们如果正巧需要加热，那就可以利用这种热效应例如电炉电烤箱，还有很多效应，如化学效应、组合效应、蝴蝶效应、光电效应、边缘效应、端点效应。类似地，在数学学习中，我们在学习知识时除了要掌握知识的含义，还要注重掌握知识的功用或效果，每个知识通常具有多种功用，这其中的绝大多数功用是课本上不会提到的副作用(副作用不是贬义)，并不是该知识独立固有的主体功用，这些副作用很多要靠自己整理和积累，这些作用的发挥一般是有外界条件配合的，也就是要应景，要具体问题具体分析，通常要和具体数学问题解题方案中设想的意图相匹配。在解题时如果需要实现某个设想的意图(例如想消除根号)，如果事先知晓某些知识具有对应的功能(能消除根号)可以实现这个意图，那就很容易联想到用这些知识来实现解题意图。

我们平时要从功用的维度来学习知识，通过功用和意图来驱动，在实践中整理功用目标的实现手段，另一个就是在解题过程中，多反问自己如何利用好题目中的已知条件，怎样才能发挥它们的作用。在解题过程中和矛盾分析法、合理设想解题方案、合理设想解题(目标)意图（例如想证明某个中间结论&中途点、想消除某个变量、想去掉根号等）结合起来(合理设想猜想在前面讲述过)使用。还是拿消除二次根号的意图来举例，哪些知识具有对应的功用来实现这个意图？很容易想到平方法，其实根据具体问题场景，还有一些，例如某不等式题中有4个根式相加，其中一个是，通过矛盾分析法识别出根式是个解题障碍，是个拦路虎，需要去掉根号。想去掉根号把x解放出来就是解题方案中合理设想的目标意图，如果此时不适合用平方法，那进一步的设想意图就是把

中的变成平方式或与某个平方式有关系，还有哪些知识具有消除根号或变出平方式的作用？如果事先知晓下图的不等式。

(注意这个不等式右边的分子为平方式)或柯西不等式具有平方的副作用，或更正确的说法：具有平方效应。

右边变成了x+3,去掉了根号，解放出了x。

用柯西就是这样:

对数学知识和数学对象，我们在学习和解题过程中要注意体会和熟悉它们的功能/作用，例如正三角形的三面同性具有在保持线段长度不变情况下调整线段位置&方向的功能，好比水管中的三通或光学中的三棱镜，可做"三向连接器"打通几何图形中的结构关系，所以我们有时在几何题中构造正三角形作为中介，打通原本不密切或一盘散沙的关系，让它们变密切；4点共圆具有”转移角度”的功能，可做"角度转移器"，如果我们在解题时需要在保持角度不变的情况下调整角的位置，就可考虑构造圆和共圆的4点。还有一些，比如平行线的功能，它也有”调整转移角度”的功能；各种几何变换具有”移花接木”的功能；构造相似或全等具有”移形换位”的功能。

 上面这些具体的功能就是它们具有解题功能的根源，思考下：为何说(一元二次方程)判别式具有解题功能？

因为从必要条件(例如方程有实数根的必要条件或函数恒大于0的必要条件)考虑，判别式具有”构建不等式模式”的功能，从而具有求变量最大值、最小值或取值范围的解题功能。

  几何题中的各种变换、构造、添加辅助线是对不理想的几何结构、关系的改造和变化，目的是为了打通和凸显几何图形中隐藏的关系或不密切的关系或隐藏的属性&性质，向熟知的几何模型靠拢，使题目的恶劣(不和谐的)局势好转。 几何解题中运用各种变换、构造、添加辅助线，要在直观上和心理认识上体会到它们的画龙点睛、穿针引线&牵线搭桥、起死回生、焕然一新、峰回路转、扭转乾坤的再造之功，也要能体会到它们通常会引发的”多米诺骨牌”效应，势如破竹的连锁反应。反过来，画龙点睛、焕然一新、连锁反应可作为评估几何变换、构造、添加辅助线有否可行是否有效的标准，当然解题者通常很快就能感觉到是否可行。

谈到功能思想，需要介绍下和它相关的哲学概念：体与用。体就是本体，用就是功用、作用。体是一个事物最根本的、内在的属性；而用则是事物外在的能力、功用、效果。

和功能思想相关的还有属性(性质)思维，我们要掌握数学对象/数学概念的各种属性和性质，要研究数学对象/数学概念的属性和性质。利用性质来解题，要注意运用计算思维计算出属性值和属性之间的关系，例如有时要计算几何题中的角度，发现图形中隐藏的特殊角度值或角度之间的关系，比如相等关系。数学对象的属性性质较多，另一个要注意的是在问题中存在随机变化的大背景下，对位于其中的数学对象进行稳定性变化性&不确定性分析，变中有不变(不变的属性、不变的模式、规律)，进一步分析判断哪些属性&性质是便于我们把控利用的(相对而言)，哪些是不容易把控利用的，选择聚焦于那些相对而言容易把控利用的，也就是做决策筛选出合适的属性&性质。这也是后面马上要提到的简约思想，做减法。

守恒思想：事物始终在运动变化，但变中有不变，无常之中有恒定，例如物理学中的质量守恒、能量守恒、数学应用题中两个人的年龄差。”算两次”思想也是运用了守恒思想。

等效(等价)思想：我们熟知的商品或劳动力的等价交换，曹冲称象故事中的等价转化都是等效思想的运用。等效思想是物理学中的一种重要思想，得到广泛的运用，例如中学物理中的等效电阻、等效电路、力的合成与分解、广义相对论的等效原理。在数学中，等量代换，换元法都体现了等效思想，不只是等量代换和换元法。等效思想在数学解题中还有其它运用，那就是对问题本质的认识和理解，看透问题本质。数学对象的多元表征之间通常是等价的，是可以相互转换的，另外表象和本质也可看成是等价的。有的数学题，看似很复杂或云遮雾绕(主要目的就是为了迷惑解题者)，其实如果能从表象中看透其本质，改变认识视角，从它的本质认识视角上或换另一种表征形式来理解它，就很容易了。

做局思维： 发挥想象力和创造力，运用整体&系统思维、联想、类比、关系思想、构造思想、模型思想、结构化思维等合情推理思想和思维，建构关系（找关系、创建关系）、探求&构造数学模型(模式),往模型上靠，想法把数学对象置于某个更大的关系结构或数学模型之中。

简约思想：简约就是删繁就简，做“减法”，减去哪些？

在抽象思维中，就要运用简约思想，去粗取精去伪存真，忽略和问题本质无关的因素和事物。在数学解题思维过程中，简约思想也是一种解题视角，我们碰到问题，在分析比较判断的基础上，结合直觉、经验、合情推理、逻辑推理等，排除繁琐的、多变的、不容易考虑、难以把控处理的因素、方法、事物，因为它们有可能是噪音和干扰来迷惑你让你迷失思维方向，优先选取聚焦于那些相对而言容易掌控处理的，这样避重就轻，删繁就简，返璞归真，彰显本质。

简约不简单，简约思想追求的是简约美，

Note：

  世事洞明皆学问，其中有精，其中有信，其中有数，其中有象，其中更有道。可见道在日用，大道至简，这些思想在我们日常生活中一点不神秘，只是百姓日用而不知，大家没意识到这些思想的重要性或没有养成善于从具体实践(日常生活和学习、工作)中总结提炼规律和方法的习惯,没有悟道的习惯和意识。

上士闻道勤而行之，我们如果想培养数学思维，那就要在解数学题的过程中有意识的运用和领悟数学思想方法。在具体的学科中例如数学中，涉及到把这些思想和具体学科的特殊性结合的问题，如何在具体学科中实际运用的问题。这些在数学思想方法揭秘-3-1中将有实际的运用。

数学思维&数学思想的相互联系

各种思维方法之间、各种思想方法之间、思维方法和思想方法之间都存在相互联系，例如联想与类比。

我们解题时一般是综合使用多种思维方法和思想方法。例如运用矛盾法分析法时，会运用”比较”找出差异&不一致（即辩证法的矛盾），找到差异之后，会运用众多的思维方式和思想方法，例如联想、类比、抽象、合情合理的设想&猜想、构造、数形结合。再比如多样性思想与多元变征思想、辩证法的运动发展观、运动变化思想，它们之间也存在相互联系。

数学解题思维的本质

数学解题思维的本质或最高准则就是变化(变换)，就是辩证法的运动变化。

解题过程中的每一步都是在变化，一步步变出结论和答案，逐步向结论和答案靠近。在解题过程中，不仅大脑中的思维模式和思维内容要变化，例如联想，进行由此及彼的联想、从具体到抽象的切换、转化或化归，变换问题的形式和目标，大脑思维从此跳到彼就是变化；而且在解题中还要善于对题目中的数学对象进行各种变化，例如几何图形添加辅助线，对几何图形进行旋转平移等变换。对代数式进行各种变形、对多个数学对象进行组合变换，例如两个方程式相减、相加、相乘。数学思想方法和解题策略以及辩证法和辩证思维词汇表都是为了更好地指引我们进行合理的有章法的灵活的变化。

数学思想方法的种类是开放的发展的，不限于前面总结的那些，可以根据实践从日常生活和其他领域借鉴移植到数学领域，进而丰富发展数学思想方法的种类。例如化学中的化学反应(化学变化)或组合效应，与此类比，例如在数学中我们把俩个或多个式子相乘或相减，产生出/变化出一个新的式子，也就是通过某种数学运算法则，将几个数学对象或数学元素进行某种组合，让它们发生关系，繁衍(创新)产生一个新的数学对象和新关系。那我们在数学中，为了自己记忆理解或传授给别人，我们就给这个思想取个名字，称为化学反应思想或组合思想。再比如辩证法中的中介思想和体现中介作用的化学反应中的催化剂、计算机科学中的间接层思想和自动控制理论中的正负反馈，也可能应用在数学中。中介(媒介)思想，日常生活中的各种中介&媒人，他们起到沟通作用。在数学中也会用到中介思想，例如在几何问题中，我们有时构造正三角形，利用正三角形在位置方向上的3向同性，3面玲珑的性质来打通几何对象&几何结构之间的关系，这个正三角形就起到中介的作用，交汇变通的作用。另外易经中的三原则：变易、简易、不易也对我们理解和体会数学思想方法论有帮助，有兴趣的可以自己去看这个三原则，例如这篇文章。

  一句合头语，千古系驴橛，也不要拘泥于或执着固定于哪一种或哪几种数学思想方法，要具体问题具体分析，根据情况来灵活辩证运用各种数学思想方法。

  数学解题的主要目的是锻炼数学思维，每解一题，都要在思维方面有所收获，都要总结反思在解题思维过程中的得失，只关注题目的解题方法，而忽视解题过程中的思维活动，是买椟还珠，丢西瓜捡芝麻。

  著名数学家华罗庚说过，学数学不解题，如入宝山而返。波利亚说"掌握数学意味着什么？那就是善于解题"。每个学习数学的人都希望自己能高效简洁地解决各种数学问题，但因为没有掌握解题之道，也就是没有掌握数学思想方法，导致很多人对数学有恐惧感，觉得数学难学。大家在领悟数学思想方法时，不能只看不练，一定要在解题过程中运用数学思想方法进行实践来训练数学思维。入门阶段要有耐心，要坚持，对有难度的题卡壳一时做不出来，格物致知，不能轻易放弃，你就按这套数学思想方法论中的思想去思考，这套数学思想方法论就是大脑中的一个工具箱，里面的工具就是前面提到的思想和策略，解题时根据题目的实际情况，选取适合的思想工具，例如按照关系思想来指导思考，解题卡壳或觉得自己的方法很麻烦，那就想：是不是有些关系没发现或没利用好。接下来就按关系思想教导的那样，它教导我们要重视关系的作用，具体而言就是找关系、没有关系或关系不够就创建(构造)关系(关系不够用，就设法让题目中的数学对象发生关联，发生关系)、利用好关系，那你就再去仔细观察题目特征，发现题目中的新关系，去找明显和隐藏的各种关系(例如几何题中的相似关系)，去想法创建(建立)关系。找到关系后，利用关系来解题。此外还要注意用数学语言(例如方程、等式等)表达关系描述关系。再比如按照抽象思想方法的教导，去对题目做抽象(动词)，把它转化为抽象形式，或反过来，对题目中的抽象形式用其对应的具体形式来获得感性认识。即使你最后实在做不出来，那就看答案，对照答案反思总结，重新思考一遍答案中的解题方法可运用这套方法论的哪些思想想出来，或提炼解题方法中使用的思想，反问我当时为何没想到用这些或这样用。当然做不出来也可能是知识点的问题，知识点没掌握好不熟悉。如此这般实践，你一旦找到感觉，那就有些进步了，就这样逐步来训练，当它们烙入你的潜意识中成为思维习惯，那就真正悟道数学思维了。

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