引言

对于多项式方程，根据代数基本定理，我们能算出其根的数量。对于同余式，是否也有相似的定理？没错，它就是模p多项式根定理。

表述

设为素数，是次数为的整系数多项式，且，则同余式最多有个模不同余的解（可简写为最多有个解）。

证明

原命题的反命题是：至少存在一个首项系数不被整除的整系数多项式，使得同余式根的个数大于的次数。现在用反证法证明这个反命题不成立。
在所有满足上述条件中的多项式中取一个次数最低的，设为：

注意，满足上述条件的多项式中一定存在一个次数最低的。容易证明，当时，，又，则无解，此时原命题成立，原命题的反命题不成立。我们关心的是，当的时候，是否存在使得有甚至更多个解。可以假设这样的存在，但是一定有最小值。
设的一组解为：

取其中一个特解，令其为，则有，以及。

对于，总能提出因式，因此：

其中是另一个多项式，其最高次数为。令为特解，令为模不同余的另一个解，得到：

由于与模不同余，为质数，所以，即。可以取除了的所有个根，对于来说，都是它的根。于是就成了次数为，但是有个模不同余的根的多项式，的根的个数大于其次数，但是的次数小于，于是不是次数最低的那个多项式，原命题的反命题存在矛盾，因此原命题得证。