线性空间的基础知识回顾

回顾一些线性空间的基础的知识：

1. 点，向量，坐标之间的关系
   点空间表示为E^3, 向量空间表示为E^3, 坐标表示为实数三元组，也即R^{3。当给定一个固定的原点o，以及三个向量![][1]作为基，可以得到向量空间和坐标的一个一一对应，也即E}3 和 R^3之间的一一对应。

• 线性方程组与共面的关系
  三个向量a, b, c, 共面，当且仅当存在不全为零的实数k, m, l，使得

  
  也即等价于
  即下列线性方程组有非零解

• 体积与行列式

  • 假设有一个函数A, 表示向量的定向面积(或体积)。如A(a, b) 表示向量a和b确定的平行四边形的面积，注意这个A(a, b)是有正负的，若a和b定向为正的(正定向即两向量间的夹角小于pi)，则为正，否则为负。类似的，A(a, b, c)表示三维空间中向量a, b, c张成的平行六面体的体积。我们记为det(a, b, c)，也就是行列式。
  • 三个向量a, b, c, 共面，当且仅当 det(a,b,c)=0
  • 行列式的一些性质：
    • 它是斜对称的，所以交换两行，行列式变号。如det(a, b, c) = -det(b, a, c)
    • det(e1, e2, e3) = 1, 他们分别为单位向量

• 平面与直线

  • 一个平面可以由一个一次项系数不全为零的三元一次方程表示：
    • 这是因为，一个平面可以由一个点p0和两个向量u,v来确定。所以对于一个点p(x,y,z)，p在平面上，当且仅当pp0, u, v三个向量共面。假设三个点p0, u, v分别为(xi,yi,zi), 其中i为0,1,2，有下列行列式等于0：
      该行列式可以化简为上面的三元一次方程。

  • 一个平面也可以由它上面的一个点和它的一个法向量所确定。设n(a,b,c)为平面的法向量，也即平面与n正交。那对于在平面上的一点p，有

    
    由内积的定义有
    其中因为n与平面上的任意两点组成的向量正交，所以可以得到abc的关系式：

在了解了上面的概念后，开始真正复习一下线性空间的内容。

1. 线性空间

• def (线性空间)： 设F是一个数域，V是一个非空集合，我们称V是F上的一个线性空间，如果V中定义有加法(x+y=z)，以及数乘(y=kx)，且满足结合律、交换律、有0元(x+0=x)、负元(x+y=0)这几个性质。
  容易知道，平面向量组成的线性空间可记为E^{2，空间向量组成的线性空间记为E}3，如果有一组确定的基，那就得到一个E^3和R3之间的一一对应的映射。
• def (子空间)：设a1, a2, ..., an 为V的n个向量，k1, ..., kn 为F的n个数，称
  

  为a1, ..., an的一个线性组合。
  

  其所有的线性组合构成的集合成为a1, ..., an的线性扩张，记为
  显然，线性扩张是V的子空间

• 基和维数

  • 设a1, ..., an 属于V，存在k1, ..., kn属于F, 使得k1a1+...+knan=0，则称a1, ..., an线性相关，否则为线性无关。
  • 向量a1, ..., an 属于V线性相关当且仅当其中一个向量可表达为其他向量的线性组合。
  • V的一个向量组是V的基当且仅当它线性无关且张成V
  • 有限维线性空间V的一个基所含向量个数称为V的维数，记为dimV
  • 一个向量组张成的子空间的维数称为此向量组的秩

• 矩阵

  • 由集合m x n到F的一个函数称为F上的一个m x n 矩阵，其中
    所以矩阵是一个从集合到数域的映射。数域F上全体m x n的矩阵的集合：
    以及矩阵的加法和数乘为F上的线性空间。
    不得不说，矩阵的定义看起来很怪。前面提到向量组成的集合是F上的线性空间，那么其实从某种程度上来说，矩阵就是m个n维向量有机的结合在一起，因而其集合也可以看做一个线性空间，并且可以定义上面的加法和数乘。大概可以这么直观理解罢。
  • 
  • 对矩阵A, 如果存在B, 使得 AB=BA=I, 则称A为可逆矩阵，B为A的逆。
  • 
  • 设A为m x n 的矩阵 B为n x p的矩阵，有：![][god1]
    这个命题表明：用矩阵A左乘矩阵B所得到的矩阵AB的第i行是B的行向量组的一个线性组合，此线性组合的系数恰好就是A的第i行；反过来，若用矩阵B的行向量组的线性组合作为行向量，得到另一个矩阵C，那么C可以用某个矩阵A左乘B得到，A的行向量就是所作的线性组合的系数
    所以其实高斯消去法时的初等变换其实就是对B进行一个初等矩阵A的左乘，A为系数。

• 行列式

  • 单位矩阵的行列式等于1；
  • 两行互换，行列式改变符号；
  • 某一行乘以一个数，相当于行列式乘这个数；某一行是两个向量的和，则行列式等于该行换成这两个向量后所得两个行列式之和；
  • 方阵A可逆，当且仅当detA非零**；
  • ![][det]

• 特征向量和特征根
  待续

[god1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\begin{array}{ll}1)&(AB)(i,\cdot)=A(i,\cdot)B=a_{i1}B(1,\cdot)+a_{i2}B(2,\cdot)+\cdots%20+a_{in}B(n,\cdot);\2)&(AB)(\cdot,j)=AB(\cdot,j)=b_{1j}A(\cdot,1)+b_{2j}A(\cdot,2)+\cdots+b_{nj}A(\cdot,n).\end{array}.
[det]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?det(AB)=detAdetB,det(A^{-1})=\frac{1}{detA},detA=detA^T