非常抽象的线性空间继续举例

• 傅里叶变换属于函数线性空间

  
  通过映射

• 将符合线性变换条件的所有映射看做线性空间

  
  n维映射
  具备线性性
  k-form

全体A看做线性空间

比较好理解的线性空间

迹零矩阵

线性空间维度如何确定的？

线性相关&无关

• 以三维线性空间为例说明基、线性相关

  
  三维向量的基表示

空间中任意向量都可以又三个轴的单位向量各自乘以一个系数相加后表达，这三个轴向量就是一组基向量。并且一组基向量仅需要3个向量构成。基向量与任何附加的其它向量都是线性相关的，因为基向量可以表达出任何其它向量。

线性相关标准定义

相反就是线性无关，即系数都要为0。
3维空间中线性无关向量最多为3。任意三个不共面的向量都可以表示出一组基。

求最大线性无关部分元素数量的方法

方法

不断将系数不为0的元素剔除，系数作为其它项的分母再构成一组0等式。最终所有系数都为0时剩下的元素个数就是解。

• 这就是秩(rank)。极大线性不管组。可看做这堆元素中最无冗余最干货的那部分。

• 求秩的思路

  
  求解秩的思路

将矩阵主对角线变换为1、0形式，其他部分仅某一遍有值，其它部分为0

• 通过反复的初等行列变化进行消元。

  
  3个初等变换

特点，把一个角变成1，另外两个方向延展都是0，然后继续变换小一级别的矩阵，直到剩下的部分都是0。

线性变换定义

变换满足线性性

• 用基底展开基底

  
  基底变换效果
  变换完成

• 结论

  
  矩阵结论