前言

万物皆数。

一切实在物都有形，形可以用数来描述。运动与变化伴随着能量的交换与转化，能量可以用数表示。人的知识本质上是信息，信息可以用数记取。万物有质的不同，质又可以用数来刻画。人们对世界的认识越深入，对数的重要性也越有深刻体会。

数学是什么？

数是什么？

1是什么？

有时候看起来很简单的问题，反而难以回答。因为事情已经简单的很难再简单了，只能用较复杂的概念来说明它。但是，把简单的东西复杂化，能算是说明吗？

如果问复数是什么，那是容易回答的，因为复数可以用一堆实数来表示。整数也是可以归结为自然数来解释。但是如果问自然数是什么，就比较难以回答了。这已经不是数学问题，而同时也是一个哲学问题。

它实际是在问：数学所研究的对象本质是什么？

我们试着从最简单的1开始讨论。

1是什么？1是一把椅子？是一个皮球？都不是。如果它是一把椅子，就不能是一个皮球。但是我们在使用它的时候，1既可以是一把椅子，也可以是一个皮球。可以说，1是一个高度抽象的结果。

我们从具体事物中得到抽象概念，又通过具体事物来理解抽象概念。

但是说1把椅子，1个皮球，其实也是一个抽象的结果，也不具体。因为不知道椅子是新的还是旧的，是什么颜色的等等。它已经丢掉了事物的许多的具体特征。在这个基础上再抽象一次，把椅子、皮球等具体的东西舍弃掉，便剩下一个赤裸裸的1，我们对它知道得更少，它不是一把椅子，也不是一个皮球，它就是一个纯粹的1.

然而我们对1的性质还可以有所了解，因为1把椅子加1把椅子是两把椅子，舍弃了椅子后，我们就得到了关于纯粹的1的纯粹的数量关系：1+1=2。

因为1+1=2是纯粹的数量关系，所以它可以普遍的运用。它什么都不是，因而它可以什么都是。像一只空箱子，你可以用它装任何它装得下的东西，像一笔没有设定用途的钱，你可以买任何它可以买得到的东西。

但是作为1，它还有一个特殊的性质：就是任何数乘以1仍得到该数。在数学里还可以再抽象，只考虑任何数乘以1这个性质，抽象结果，得到更赤裸裸、更抽象的1，通常称之为“幺元素”或者“单位”：

在数的乘法中，任何数乘以1不变。

在向量的加法中，任何向量加0向量不变。

在矩阵乘法中，任何矩阵乘以单位矩阵不变。

于是，数1，0向量，单位矩阵都是相应运算下的“1”，即单位，或者幺元素。

数学概念就是这样一层一层地抽象出来的，各门学科都要抽象，只是数学抽象的最厉害，一直抽象到凡夫俗气莫名奇妙的程度。

辩证法认为一切事物都包含着矛盾，即“一分为二”，为什么一切事物都包含着矛盾呢？为什么不是一分为三，而是一分为二呢？哲学家对比没有进一步的研究和解答。也许，这正是因为事物的变化归根结底可以用数量的变化来描述。而数量的变化，分解到每一维上无非是增加与减少。表现出来当然是矛盾的双方，而不是三方或多方了。

数学研究什么？

每种数学理论都由一串串推理的长链构成，可以说，演绎推理是数学的特点。但是演绎推理只是一种方法，一种把思想和思想联结起来的工具，数学家可以用，其它科学家也可以用。我们应当看到数学推理的长链背后还有更本质的东西。这种更本质的东西，真正反映来数学的什么特点呢？布尔巴基学派称之为“结构”。

在历史上，数学的一大成就就是对数的发现，用对数可以把乘除化为加减，把繁难的乘方和几乎不可能进行的平方化为乘除，一下子把天文学家从大量计算的沉重劳动中解放出来了。

尽管同一结构可以在不同的事物中出现，但是有的事物容易把握，有的事物难以把握，这样，我们可以通过容易把握的事物来认识难以把握的事物。

实际的地理状况难以把握，因此人类很早就学会用地图，因为地图和实际的地理状况之间有相似的结构，易于综观全局，易于把握。

数学的研究对象，慢慢地露出来它的轮廓。它研究结构：从不同的系统中抽象出来的共同结构。

结构不是人主观随意指派的，也不是在理念世界永恒存在的，它是总结大量感性经验上升为概念的结果。

布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构有三种：

（1）代数结构。运算，来自数量关系。

（2）序结构。先后，来自时间观念。

（3）拓扑结构。连续性，来自空间经验。

然而这些东西一旦被抽象成数学概念，成为脱离具体内容的结构，它就可以被用到任何会有类似性质的系统之中，而不一定与时，空，数有关了。

基本结构可以加上一些公理派生出子结构。两种以上的结构可以加上联结条件产生复合结构。

当数学家遇到新的研究对象后，他自然而然会想，所遇到的事物能不能放到某个已知的结构中？如果可以，就马上动用这个已知结构的全部性质作为克敌制胜的武器。

把新的陌生对象纳入已知的结构之中非常重要，在这里重要的工具就是联结，努力使新生事物跟已知事物建立联系。

数学如何研究？

欧几里得的《几何原本》向哲学家建议了一种认识真理的方法：从少数几条明白清楚的前提出发，用逻辑工具证明你的结论。如果前提是真理，则结论也是真理。这一思想对哲学家产生了重大的影响。

几何体系是一个抽象系统，如果对其中的原始术语不给与指定的意义，就无所谓真假问题。

从前，公理被认为是自明之理。自明之理从哪里来？唯心论者认为是人的先天洞察，上帝给人的启示，人对理念的认识等。唯物论者认为公理来自人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华。二元论者认为公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。虽然这些观点千差万别，但有一点是共同的：公理是真理，是相对真理或者绝对真理，是不必再加以证明的命题。

现在数学家的看法变了，没有什么自明之理。即使有，也不必要求数学公理是真理。数学公理是对数学对象的性质的约定。什么是直线，直线就是满足我的这几条公理的某种东西。满足欧几里得公理，叫欧式直线。满足罗马切夫斯基公理，叫罗氏直线。

公理对不对，这个问题对于数学家是没有意义的。数学家只说：如果某一些对象适合于这些公理，它也一定适合于从公理推出的定理。

非欧几何的创立，标志着数学真理性的终结。数学家可以探索任何可能的问题，重构任何可能的公理体系，理论数学从此得到空前的发展。数学经历了一个自由的新生，它不再束缚于直接从现实世界抽象而得的概念，而有了探索人类心智的创造的自由。

不过也不能随便几条命题凑起来便可作为公理。

首先，公理不能自相矛盾，也不能推出自相矛盾的东西，这叫做公理的相容性或者协调性。

其次，从精炼的角度看，任何一条公理都不能从别的公理推出来，能推出来就作为定理算了，何必算作公理呢？这叫做公理的相互独立性。

还有一条完全性，就是在这个系统中，一切命题的真假都是可以确定的。

围棋和五子棋的最大区别并不在于棋具，而是走棋的规则。同样的棋具，人们可以根据自己的兴趣爱好选择规则，进入完全不同的棋类世界。

真理往前多走一步，就是谬误。

观察者的目的不同，对事物的看法也不一样。因此你可以以任意的形式，用自己喜欢的语言来定义事物，并不能说是错误的。

在今天这样一个多元化的社会，对于很多问题，大家没有必要、也不可能达成一致的看法。但我们必须强调事物有其客观性，只能通过观察和分析来发现，而不能将事物看作是人决定的产物。在追求个性的同时，更要究其本质，求其共性，特别是在科学领域的时候。

人们不断对新事物给出定义，对旧事物更新定义。

恩格斯说：在科学上，一切定义都只有微小的价值。要想真正详尽地知道什么是生命，我们就必须探究生命的一切表现形式，从最低级的直到最高级的。可是对日常的运用来说，这样的定义是非常方便的，在有些地方简直是不可缺少的，只要我们不忘记它们的不可避免的缺点，它们也无能为害。