极大似然估计和贝叶斯估计

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极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE) 和贝叶斯估计(Bayesian Estimation) 是统计推断中两种最常用的参数估计方法，二者在机器学习中的应用也十分广泛。本文将对这两种估计方法做一个详解。

考虑这样一个问题：总体的概率密度函数为，观测到一组样本，需要估计参数。下面我们将采用不同的估计方法来求解这个问题。

1. 极大似然估计

极大似然估计是典型的频率学派观点，它的基本思想是：待估计参数是客观存在的，只是未知而已，当满足时，该组观测样本更容易被观测到，我们就说是的极大似然估计值。也就是，估计值使得事件发生的可能性最大。

下面给出极大似然估计的数学描述：

2. 贝叶斯估计

贝叶斯估计是典型的贝叶斯学派观点，它的基本思想是：待估计参数也是随机的，和一般随机变量没有本质区别，因此只能根据观测样本估计参数的分布。

贝叶斯估计利用了贝叶斯公式，给出贝叶斯公式的数学描述：

下面给出贝叶斯估计的数学描述：

其中，为参数的先验分布(prior distribution)，表示对参数的主观认识，是非样本信息，为参数的后验分布(posterior distribution)。因此，贝叶斯估计可以看作是，在假定服从的先验分布前提下，根据样本信息去校正先验分布，得到后验分布。由于后验分布是一个条件分布，通常我们取后验分布的期望作为参数的估计值。

2.1 最大后验估计

在贝叶斯估计中，如果我们采用极大似然估计的思想，考虑后验分布极大化而求解 ，就变成了最大后验估计（Maximum A Posteriori estimation，MAP）：

由于与无关，因此简化了计算。

作为贝叶斯估计的一种近似解，MAP有其存在的价值，因为贝叶斯估计中后验分布的计算往往是非常棘手的；而且，MAP并非简单地回到极大似然估计，它依然利用了来自先验的信息，这些信息无法从观测样本获得。

对上面的式子稍作处理：

如果将机器学习结构风险中的正则化项对应为上式的，那么带有正则化项的最大似然学习就可以被解释为MAP。当然，这并不是总是正确的，例如，有些正则化项可能不是一个概率分布的对数，还有些正则化项依赖于数据，当然也不会是一个先验概率分布。不过，MAP提供了一个直观的方法来设计复杂但可解释的正则化项，例如，更复杂的惩罚项可以通过混合高斯分布作为先验得到，而不是一个单独的高斯分布。

2.2 共轭先验

在贝叶斯估计中，如果选取先验分布，使得后验分布与属于同一分布簇（即共轭分布），则称为似然函数的共轭先验。

共轭先验的选取有如下好处：
a).符合直观，先验分布和后验分布应该是相同形式的；
b).可以给出后验分布的解析形式；
c).可以形成一个先验链，即现在的后验分布可以作为下一次计算的先验分布，如果形式相同，就可以形成一个链条。

常见的共轭先验有：Beta分布（二项分布）、Dirichlet分布（多项分布）。

很显然，共轭先验的选取很大程度上是基于数学理论的方便性，带有很强的主观色彩，而这也是饱受频率学派诟病的一点。频率学派认为，只有在先验分布有一种不依赖主观的意义，且能根据适当的理论或以往的经验决定时，才允许在统计推断中使用先验分布，否则就会丧失客观性。关于这些，读者可自行了解。