第七章 狄克斯特拉算法

戴克斯特拉算法 (又称迪杰斯特拉算法), 使用了广度优先搜素解决赋权有向图的单源最短路径问题。 该算法存在很多变体, 戴克斯特拉的原始版本找到两个顶点之间的最短路径, 但是更常见的变体固定了一个顶点作为源节点然后找到该顶点到图中所有其他节点的最短路径, 产生一个最短路径树.

ge2X222.gif 上图为戴克斯特拉算法应用示意图。

起点以左下角的红点, 目标是右上角的绿点, 中间灰色的倒 L 型为障碍物。 蓝色空圈表示 "暂定", 用以搜索下一步; 已经填充颜色的表示探访过. 图中颜色以红到绿, 越绿表示离起点越远。 所有节点都被均匀的探索。

换钢琴

下面是书中的一个换钢琴的例子:

[图片上传失败...(image-9890be-1528173451438)]

这个图中的节点是大家愿意拿出来交换的东西, 边的权重是交换时需要额外加多少钱。 比如说拿乐谱换稀有黑胶唱片需要 5 美元, Rama(书中的人名)需要确定采用哪种路径将乐谱换成钢琴时需要支付的额外费用最少。 因此, 我们可以使用戴克斯特拉算法。 别忘了, 戴克斯特拉算法包含四个步骤:

1. 找出 最便宜 的节点, 即可在最短时间内到达的节点;
2. 更新该节点的邻居的开销;
3. 重复这个过程, 直到对图中的每个节点都这样做了;
4. 计算最短路径.

第一步: 找出最便宜的节点, 免费换海报, 还有比这更便宜的吗, 没有.

第二步: 计算前往该节点的各个邻居的开销

image

这个表格中很直观, 以海报为父节点出发, 换到低音吉他 30 美元, 架子鼓 35 美元

再次执行第一步: 以乐谱为父节点的下一个最便宜的节点是黑胶唱片---5美元

再次执行第二步: 更新黑胶唱片的各个邻居的开销

image

当然也很直观, 以黑胶唱片为父节点, 换到低音吉他 15 美元, 换到架子鼓 20 美元。 再以低音吉他换到钢琴 20 美元, 架子鼓换到钢琴是 10 美元。

因此, 我们可以得出结论, 乐谱 ---> 黑胶唱片 ---> 架子鼓 ---> 钢琴这种兑换路线是最便宜的, 35 美元

实现

# coding: utf-8

graph = {}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

graph["a"] = {}
graph["a"]["finish"] = 1

graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["finish"] = 5

graph["finish"] = {}

infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["finish"] = infinity

parents = {}

parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["finish"] = "None"

processed = []
print(costs)
def find_lowest_cost_node(costs) :
    low_costs = float("inf")
    low_costs_node = None
    for node in costs :
        cost = costs[node]
        if cost < low_costs and node not in processed :
            low_costs = cost
            low_costs_node = node
    return low_costs_node

node = find_lowest_cost_node(costs)
while node is not None :
    cost = costs[node]
    neighbors = graph[node]
    for n in neighbors.keys() :
        new_cost = cost + neighbors[n]
        if costs[n] > new_cost:
            costs[n] = new_cost
            parents[n] = node
    processed.append(node)
    node = find_lowest_cost_node(costs)

print(costs)