2019-03-07

2019-03-07

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-03-09 21:30 被阅读0次

随机过程
- 以确定函数为样本的随机实验的结果
- 沿时间轴排列的无数随机变量
随机过程的数学期望 $m_x(t) = E[X(t)]$ 是一个确定的时间函数
任何一个随机过程可以分解成零均值随机过程加上一个确定函数
互相关函数
- 从 $X(t)$ 的时刻 $t_1$ 取一个随机变量 $X(t_1)$ ,从 $Y(t)$ 的时刻 $t_2$ 取一个随机变量 $Y(t_2)$ ,二者之积的数学期望 $R_{XY}(t_1,t_2) = E(X(t_1)Y(t_2))$
自相关函数
- 从 $X(t)$ 的时刻 $t_1$ 取一个随机变量 $X(t_1)$ ,时刻 $t_2$ 取一个随机变量 $X(t_2)$ ，二者之积的数学期望 $R_{X}(t_1,t_2) = E(X(t_1)X(t_2))$
随机过程的相关函数是绝对时间,和相对时间的二元函数
- - $t_1 = t+\tau,t_2 = t$
- $R_{XY}(t+\tau,t) = E[X(t+\tau)Y(t)]$
平均自相关函数：对自相关函数中的绝对时间取时间平均
- $\overline{R_{X}}(\tau) = \overline{E[X(t+\tau)X(t)]} = E[\overline{X(t+\tau)X(t)}]$
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度是各样本函数的功率谱密度的数学期望：
- $\overline{P}_{X}(f) = E[\lim_{T\to \infty}\{\frac{1}{T}|F[X_{T}(t)]|^2\}] = \lim_{T\to \infty}\{\frac{1}{T}E[|F[X_{T}(t)]|^2]\}$
维纳-辛钦定理：随机过程的功率谱密度是平均自相关函数的傅氏变换
- $\overline{R}_{X}(\tau) \iff P_{X}(f)$
功率谱密度非负： $P_{X}(f) \geq 0$
实随机过程 $X(t)$ 的功率谱密度 $P_{X}(f)是偶函数$
随机过程的平均功率为
- $\overline{P}_{X} = \int_{-\infty}^{\infty}P_{X}(f)df = \overline{E[X^2(t)]} = \overline{R}_{X}(0),\tau = 0$
通过线性系统
- $P_{Y}(f) = P_{X}(f)|H(f)|^2$
广义平稳过程
均值、自相关函数都与绝对时间 $t$ 无关
广义遍历过程
- 平稳过程 $X(t)$ 的每个样本的时间平均等于 $m_x$ ,每个样本自相关函数等于 $R_{X}(\tau)$
平稳过程的功率谱密度是 $R_{X}(\tau)$ 的傅氏变换
遍历过程的功率谱密度是每个样本函数的功率谱密度
联合平稳
连个随机过程各自平稳，且互相关函数与绝对时间 $t$ 无关
两个随机过程不相关：对于任意两个时刻 $t_1,t_2$ ： $E[X(t_1)Y(t_2)] = E[ X(t_1)]E[X(t_2)]$
两个随机过程在同一时刻不相关：对于任意一个相同的时刻 $t_0,E[X(t_0)Y(t_0)] = E[ X(t_0)]E[X(t_0)]$
零均值随机变量或随机过程的相关系数：方差归一化后的相关值。
平稳过程通过线性系统
平稳过程通过线性系统后还是平稳过程，且输入输出联合平稳
- $m_Y = m_XH(0),P_{Y}(f) = |H(f)|^2P_{X}(f)$
零均值平稳过程 $X(t)$ 的希尔伯特变换 $\hat{X}(t)$ 是零均值平稳过程，希尔伯特变换不改变功率谱密度、自相关函数。 $X(t)$ 与 $\hat{X}(t)$ 在同一时刻不相关。
微分等效于一个传递函数为 $j2\pi f$ 的滤波器。
复平稳过程
复随机过程 $Z(t) = X(t)+j\cdot Y(t)$
$X(t) = Re\{Z(t)\} = \frac{1}{2}\{Z(t)+Z^*(t)\},Y(t) = Im\{Z(t)\} = \frac{1}{2j}\{Z(t)-Z^*(t)\}$
复过程的相关函数
- 自相关函数 $R_{Z}(t_1,t_2) = E[Z(t_1)Z^*(t_2)]$
- 共轭相关函数 $R_{{ZZ}^*}(t_1,t_2) = E[Z(t_1)Z(t_2)]$
复平稳：实部虚部联合平稳
复平稳的条件：均值、自相关函数、共轭相关函数与 $t$ 无关
平稳带通过程的复包络及解析信号
零均值平稳过程 $X(t)$ 的解析信号 $Z(t) = X(t)+j\cdot \hat{X}(t)$ 是零均值复平稳过程，且共轭不相关。
解析信号的自相关函数是 $R_{X}(\tau)$ 的希尔伯特变换的2倍，功率谱密度是 $P_{X}(f)$ 正频率部分的4倍。
零均值平稳带通过程 $X(t)$ 的复包络 $X_{L}(t) = Z(t)e^{-j2\pi f_c t}$ 是零均值复平稳过程，且共轭不相关。
复包络的功率谱密度是 $P_{X}(f)$ 正频率部分的4倍向下搬移。
$X(t)$ 的同向分量 $X_{c}(t)$ 和正交分量 $X_{s}(t)$ 是零均值联合平稳，且有相同的功率谱密度及自相关函数
$X(t)$ 的同向分量 $X_{c}(t)$ 和正交分量 $X_{s}(t)$ 在同一时刻不相关。
平稳序列、循环平稳
随机序列 $\{X_{n}\}$ 是无限个随机变量
平稳序列： $\{X_{n}\}$ 的均值及自相关函数与绝对时间n无关
联合平稳：随机序列 $\{X_{n}\}$ 与 $\{Y_{n}\}$ 各自平稳且互相关函数与绝对时间无关
复平稳序列：复值随机序列 $Z_{n}$ 的实部及虚部联合平稳
循环平稳过程：均值、自相关函数是 $t$ 的周期函数

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