七、前向-后向算法(Forward-backward algorithm)
上一节我们定义了两个变量及相应的期望值，本节我们利用这两个变量及其期望值来重新估计隐马尔科夫模型（HMM）的参数pi，A及B：
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如果我们定义当前的HMM模型为
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，那么可以利用该模型计算上面三个式子的右端；我们再定义重新估计的HMM模型为
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，那么上面三个式子的左端就是重估的HMM模型参数。Baum及他的同事在70年代证明了
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因此如果我们迭代地的计算上面三个式子，由此不断地重新估计HMM的参数，那么在多次迭代后可以得到的HMM模型的一个最大似然估计。不过需要注意的是，前向-后向算法所得的这个结果（最大似然估计）是一个局部最优解。
关于前向-后向算法和EM算法的具体关系的解释，大家可以参考HMM经典论文《A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition》，这里就不详述了。下面我们给出UMDHMM中的前向-后向算法示例，这个算法比较复杂，这里只取主函数，其中所引用的函数大家如果感兴趣的话可以自行参考UMDHMM。
前向-后向算法程序示例如下（在baum.c中):
void BaumWelch(HMM *phmm, int T, int *O, double **alpha, double **beta, double **gamma, int *pniter, double *plogprobinit, double *plogprobfinal)
{
int i, j, k;
int t, l = 0;
double logprobf, logprobb, threshold;
double numeratorA, denominatorA;
double numeratorB, denominatorB;
double ***xi, *scale;
double delta, deltaprev, logprobprev;
deltaprev = 10e-70;
xi = AllocXi(T, phmm->N);
scale = dvector(1, T);
ForwardWithScale(phmm, T, O, alpha, scale, &logprobf);
plogprobinit = logprobf; / log P(O |intial model) */
BackwardWithScale(phmm, T, O, beta, scale, &logprobb);
ComputeGamma(phmm, T, alpha, beta, gamma);
ComputeXi(phmm, T, O, alpha, beta, xi);
logprobprev = logprobf;
do
{
/* reestimate frequency of state i in time t=1 /
for (i = 1; i <= phmm->N; i++)
phmm->pi[i] = .001 + .999gamma[1][i];
/* reestimate transition matrix and symbol prob in
each state /
for (i = 1; i <= phmm->N; i++)
{
denominatorA = 0.0;
for (t = 1; t <= T - 1; t++) denominatorA += gamma[t][i]; for (j = 1; j <= phmm->N; j++)
{
numeratorA = 0.0;
for (t = 1; t <= T - 1; t++) numeratorA += xi[t][i][j]; phmm->A[i][j] = .001 +
.999numeratorA/denominatorA;
}
denominatorB = denominatorA + gamma[T][i];
for (k = 1; k <= phmm->M; k++)
{
numeratorB = 0.0;
for (t = 1; t <= T; t++) { if (O[t] == k) numeratorB += gamma[t][i]; } phmm->B[i][k] = .001 +
.999*numeratorB/denominatorB;
}
}
ForwardWithScale(phmm, T, O, alpha, scale, &logprobf);
BackwardWithScale(phmm, T, O, beta, scale, &logprobb);
ComputeGamma(phmm, T, alpha, beta, gamma);
ComputeXi(phmm, T, O, alpha, beta, xi);
/* compute difference between log probability of
two iterations */
delta = logprobf - logprobprev;
logprobprev = logprobf;
l++;
}
while (delta > DELTA); /* if log probability does not
change much, exit */
pniter = l;
plogprobfinal = logprobf; /* log P(O|estimated model) */
FreeXi(xi, T, phmm->N);
free_dvector(scale, 1, T);
}
前向-后向算法就到此为止了。
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