本文介绍关于GoogLeNet的续作，习惯称为inception v2，如下：
- [v2] Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift，top5 error 4.8%
这篇文章做出的贡献不是一般的大，它提出了Batch Normalization（BN），以至于网上关于它的介绍铺天盖地，但中文优秀原创没几个，都是转载来转载去，挑几个好的比如：这个、这个、这个。我之前也写过一个谈谈Tensorflow的Batch Normalization，讲了讲BN在Tensorflow中的实现。
前人关于BN介绍的已经太详细了，我就不再重复的了。本文就是想讲一讲BN的反向传播，BN需要调节的参数有两个，γ 和 β，反向传播的计算方式就是下面这张图：
Batch Normalization反向传播
又是令人作呕的公式。
几乎所有介绍BN的文章都把这部分略过了，估计是怕讲不清楚，或者作者根本就不明白也不想深究。BN的理念很好理解，它的优良效果也很好理解，可BN的训练到底是怎么回事？怎么反向传播？Szegedy在论文原文里也只是一句话带过了：
During training we need to backpropagate the gradient of loss ℓ through this transformation, as well as compute the gradients with respect to the parameters of the BN transform. We use chain rule...
上面那一坨公式对于深度学习的老鸟们应该不会构成理解障碍，但对于接触不久的人群，简直就是天书！鉴于此，参考xiaia的cs231n_2016_winter作业，捋一捋BN的反向传播到底是怎么实现的，好有个直观理解。
下面的介绍基于cs231n_2016_winter/assignment2的全连接网络，隐藏层5个，每个100个神经元（hidden_dims = [100, 100, 100, 100, 100]），激活函数ReLU，每个隐藏层激活函数前都加了BN层，输出层是softmax-10，optimizer是adam。
Batch Normalization反向传播实现
根据上面那一坨公式，写出来的代码是这样子的：
def batchnorm_backward(dout, cache):
"""
Backward pass for batch normalization.
For this implementation, you should write out a computation graph for
batch normalization on paper and propagate gradients backward through
intermediate nodes.
Inputs:
- dout: Upstream derivatives, of shape (N, D)
- cache: Variable of intermediates from batchnorm_forward.
Returns a tuple of:
- dx: Gradient with respect to inputs x, of shape (N, D)
- dgamma: Gradient with respect to scale parameter gamma, of shape (D,)
- dbeta: Gradient with respect to shift parameter beta, of shape (D,)
"""
dx, dgamma, dbeta = None, None, None
x, gamma, beta, var, miu, x_hat, eps = cache
m = len(x)
dx_hat = dout * gamma
dvar = np.sum(dx_hat * (x-miu), axis=0) * -0.5 * (var + eps) ** (-1.5)
dmiu = np.sum(dx_hat * (-1) / np.sqrt(var+eps), axis=0) + dvar * np.mean(-2 * (x - miu), axis=0)
dx = dx_hat / np.sqrt(var + eps) + dvar * 2 * (x - miu) / m + dmiu / m
dgamma = np.sum(dout * x_hat, axis=0)
dbeta = np.sum(dout, axis=0)
return dx, dgamma, dbeta
Tensorflow的源码里应该也会有相应的实现，以后我再找找看。
上面的batchnorm_backward函数就是BN反向传播的python实现版本，仅仅是把公式改写成了python语言而已，这篇博文对代码做了一些解释，可以参考，这里不再赘述。
问题就来了，dout是个什么东西？作为函数的输入，它怎么来的？我再翻一翻源码，找到了这个函数：
def softmax_loss(x, y):
"""
Computes the loss and gradient for softmax classification.
Inputs:
- x: Input data, of shape (N, C) where x[i, j] is the score for the jth class
for the ith input.
- y: Vector of labels, of shape (N,) where y[i] is the label for x[i] and
0 <= y[i] < C
Returns a tuple of:
- loss: Scalar giving the loss
- dx: Gradient of the loss with respect to x
"""
probs = np.exp(x - np.max(x, axis=1, keepdims=True))
probs /= np.sum(probs, axis=1, keepdims=True)
N = x.shape[0]
loss = -np.sum(np.log(probs[np.arange(N), y])) / N
dx = probs.copy()
dx[np.arange(N), y] -= 1
dx /= N
return loss, dx
softmax_loss用来计算最后softmax层的loss和gradient，函数返回两个值，一个是loss，一个是dx（gradient），这个dx就是dout的源头！也是反向传播的最最最开始的地方！它是这么得来的：
dx = probs.copy()
dx[np.arange(N), y] -= 1
注：其中probs是softmax的输出结果。
上面的程序代码是如此的简洁！让人完全蒙圈！逼得我重温了一下反向传播算法，输出层的残差是这么算的：
sigmoid输出层残差计算
代码里的f'(z)去哪儿了？？？或者这种计算方式是softmax独有？深深的感觉到了自己基础知识的薄弱。我又查阅了Neural Networks and Deep Learning，终于找到了，其中的公式 (84) 是 softmax 层的残差计算方法，如下：
softmax 残差计算
可是作者让读者自己推倒公式！又蒙圈了，有兴趣的可以自己推倒试一试。
简而言之，dx就是最后一层的gradient，这个dx要一层一层的反向传播回去，不同层的反向传播计算方式也不同，比如ReLU的反向传播计算是这样的：
def relu_backward(dout, cache):
"""
Computes the backward pass for a layer of rectified linear units (ReLUs).
Input:
- dout: Upstream derivatives, of any shape
- cache: Input x, of same shape as dout
Returns:
- dx: Gradient with respect to x
"""
dx, x = None, cache
dx = dout
dx[x <= 0] = 0
return dx
当然还有 dropout_backward、affine_backward（全连层） 还有上面的 batchnorm_backward 计算函数，不再一一列举。反向传播其实就是把gradient作为输入，按照前向传播相反的方向再计算一遍而已。
总的来讲，加入BN层的反向传播没有发生根本的改变，只是多了一个反向计算过程（batchnorm_backward函数）而已，上述网络的最后几层的前向和反向传播示意图如下：
正反传播
图也画了，代码也给了，公式还是没明白，不深究了。
总之，加入BN层的网络，反向传播的时候也相应的多了BN-back，其中的dgamma、dbeta会根据反向传播的gradient（或者叫残差）计算出来，再利用 optimizer 更新 γ 和 β。
网友评论
dx[np.arange(N), y] -= 1
这里的x应该是logits，而不是上一层的特征向量，logits的导数的确就是(prob-y)，所以应该是对的。。