2.17 有限势阱束缚态 Finite square well

https://www.youtube.com/watch?v=EYhpz1D4C7E&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=30

前言

这一节我们来讲一下有限势阱的束缚态

1. 势能图像与波函数图像

[图片上传失败...(image-45fd98-1591856587878)]

• 波函数

下面根据上图三个区域解波函数通解：

• ，此时E<V。
  

  
  这样可以得到通解如下：

  
  根据波函数的归一化条件，A=0，(因为随着x减小 趋近于无限大)。
  所以此时通解如下：
  

• ,此时E>V，令

  
  
  这样可以得到通解如下：
  
  这点，本来同样也可以给出上面一样通解，只要把k换成常数l就可以了，但是视频说这里写成三角函数会简单一些。我个人理解，这是因为上图中势阱区域内的波函数呈现明显波的形式，所以可简化为三角函数的线性叠加通解

• ，此时
  

  
  这样可以得到通解如下：

  
  根据波函数的归一化条件，G=0，(因为随着x增加 趋近于无限大)。
  所以此时通解如下：
  

2. 利用偶函数和边界条件求解上述分段波函数方程

利用下面三个条件：

• 假设波函数为偶函数
  函数中的C=0，且B=F

• 
  

• 连续：
  

  将上面两个公式相除
  

• 允许能级（allowed energies)
  别忘了，其中

  • 
  • 令
    那么
    接下来化简：
    其中
    最后得到我们的关系式：
    

3.总结

上面得到，假设波函数为偶函数：

假设波函数为奇函数时：

image.png

说明：上图蓝色线为右边的那条势阱边界，红色为tan函数，蓝色为-cot函数，横坐标为z，纵坐标为势垒高度。蓝色与其他两条颜色线的交点为方程的解。

• 假如势垒很宽，如上图所示，z0很大的话
  

• 如果势垒非常窄，如下图所示，此时至少有一个束缚态（交点） image.png

image.png