8皇后问题

作者: jacky123 | 来源:发表于2016-07-19 09:57 被阅读78次

前言

八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

分析

我们可以逐行或者逐列来进行可行摆放方案的遍历，每一行（或列）遍历出一个符合条件的位置，接着就到下一行或列遍历下一个棋子的合适位置，这种遍历思路可以保证我们遍历过程中有一个条件是绝对符合的——就是下一个棋子的摆放位置与前面的棋子不在同一行（或列）。
接下来，我们只要判断当前位置是否还符合其他条件，如果符合，就遍历下一行（或列）所有位置，看看是否继续有符合条件的位置，以此类推，如果某一个行（或列）的所有位置都不合适，就返回上一行（或列）继续该行（或列）的其他位置遍历，当我们顺利遍历到最后一行（或列），且有符合条件的位置时，就是一个可行的8皇后摆放方案，累加一次八皇后可行方案的个数，然后继续遍历该行其他位置是否有合适的，如果没有，则返回上一行，遍历该行其他位置，依此下去。这样一个过程下来，我们就可以得出所有符合条件的8皇后摆放方案了。这是一个深度优先遍历的过程，同时也是经典的回溯递归思路。
把当前列N的前面的某一列设为m,则m的所有取值为｛m>=0,m<N｝的集合,故又可在上面式子的基础，归纳为如下：

cols[N] != cols[m]（与第m列的棋子不在同一行）
cols[N] != cols[m] -（N-m）(>=0 ,与第m列的棋子不在同一斜线上)
cols[N] != cols[m] + (N-m) (<=8-1,与第m列的棋子不在同一反斜线上)

具体到代码，很显然，取m的所有值只需要一句循环，同时我们为每一列定义一个长度为8的布尔数组row[],下标同样是从0开始，我们规定当row[i]=true时，表示该列第i行不能放棋子。这样我们就能写成下列程序段了：

boolean[] rows = new boolean[8];
   for(int m=0;m<N;i++){
      rows[cols[m]]=true;//当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子所在行。
      int d = N-m;
     //该句用于设置当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子的斜线上
     if(cols-d >= 0)rows[cols-d]=true; 
    // 该句用于设置当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子的反斜线上
     if(cols+d <=8-1)rows[cols+d]=true;  
}

完整的代码

public class Queen8 {
    public static int num = 0; // 累计方案总数
    public static final int MAXQUEEN = 8;// 皇后个数，同时也是棋盘行列总数
    // 定义cols数组，表示8列棋子摆放情况；下标表示列数，值表示行数
    public static int[] cols = new int[MAXQUEEN];

    public void start() {
        // 核心函数
        getArrangement(0);
        System.out.print("\n");
        System.out.println(MAXQUEEN + "皇后问题有" + num + "种摆放方法。");
    }

    //当前遍历到n行
    public void getArrangement(int n) {
        // 遍历第n列所有不合法的行，并用rows数组记录，不合法即 rows[i]=true
        boolean[] rows = new boolean[MAXQUEEN];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //与第i列的棋子不在同一行
            rows[cols[i]] = true;
            int d = n - i;
            if (cols[i] - d >= 0)
                // 与第i列的棋子不在同一斜线上
                rows[cols[i] - d] = true;
            if (cols[i] + d <= MAXQUEEN - 1)
                // 与第i列的棋子不在同一反斜线上
                rows[cols[i] + d] = true;

        }
        
        //一个循环，如果当前行没有满足要求，可以移动下一个位置
        for (int i = 0; i < MAXQUEEN; i++) {
            // 判断该行是否合法，如果所有不合法，就退出这个循环了，然后相当于返回了上一步，继续查找。
            if (rows[i])
                continue;
            // 设置当前列合法棋子所在行数
            cols[n] = i;
            // 当前列不为最后一列时
            if (n < MAXQUEEN - 1) {
                getArrangement(n + 1);
            } else {
                // 累计方案个数
                num++;
                // 打印棋盘信息
                printChessBoard();
            }
        }
    }

    public void printChessBoard() {
        System.out.print("第" + num + "种走法 \n");

        for (int i = 0; i < MAXQUEEN; i++) {
            for (int j = 0; j < MAXQUEEN; j++) {
                if (i == cols[j]) {
                    System.out.print("0 ");
                } else
                    System.out.print("+ ");
            }
            System.out.print("\n");
        }

    }

    public static void main(String args[]) {
        new Queen8().start();;
    }
}

结果：

第1种走法 
0 + + + + + + + 
+ + + + + + 0 + 
+ + + + 0 + + + 
+ + + + + + + 0 
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+ + + + + 0 + + 
+ + 0 + + + + + 
第2种走法 
0 + + + + + + + 
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+ + + 0 + + + + 
+ + + + + 0 + + 
+ + + + + + + 0 
+ 0 + + + + + + 
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+ + 0 + + + + + 
第3种走法 
0 + + + + + + + 
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+ + 0 + + + + + 
+ + + + + + 0 + 
+ + + 0 + + + + 
+ 0 + + + + + + 
+ + + + 0 + + + 
第4种走法 
0 + + + + + + + 
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+ + + + + 0 + + 
+ + 0 + + + + + 
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+ 0 + + + + + + 
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第5种走法 
+ + + + + 0 + + 
0 + + + + + + + 
+ + + + 0 + + + 
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第6种走法 
+ + + 0 + + + + 
0 + + + + + + + 
+ + + + 0 + + + 
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+ 0 + + + + + + 
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第7种走法 
+ + + + 0 + + + 
0 + + + + + + + 
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+ + + 0 + + + + 
+ 0 + + + + + + 
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第8种走法 
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0 + + + + + + + 
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第9种走法 
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第10种走法 
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0 + + + + + + + 
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第11种走法 
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第12种走法 
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0 + + + + + + + 
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第13种走法 
+ 0 + + + + + + 
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第14种走法 
+ + + + 0 + + + 
+ + 0 + + + + + 
0 + + + + + + + 
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+ 0 + + + + + + 
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第15种走法 
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0 + + + + + + + 
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+ 0 + + + + + + 
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第16种走法 
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0 + + + + + + + 
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第17种走法 
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第18种走法 
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第19种走法 
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第20种走法 
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+ + 0 + + + + + 
0 + + + + + + + 
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+ + + + 0 + + + 
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第21种走法 
+ + + 0 + + + + 
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0 + + + + + + + 
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+ 0 + + + + + + 
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第22种走法 
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+ + + 0 + + + + 
0 + + + + + + + 
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+ 0 + + + + + + 
+ + + + + + 0 + 
+ + + + 0 + + + 
第23种走法 
+ + + 0 + + + + 
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0 + + + + + + + 
+ + + + 0 + + + 
+ + + + + + 0 + 
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+ + 0 + + + + + 
第24种走法 
+ + + 0 + + + + 
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0 + + + + + + + 
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+ + + + 0 + + + 
+ 0 + + + + + + 
+ + + + + 0 + + 
+ + 0 + + + + + 
第25种走法 
+ + + + + 0 + + 
+ + + 0 + + + + 
0 + + + + + + + 
+ + + + 0 + + + 
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第26种走法 
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+ + 0 + + + + + 
0 + + + + + + + 
+ + + + + + 0 + 
+ + + + 0 + + + 
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第27种走法 
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+ + 0 + + + + + 
0 + + + + + + + 
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+ 0 + + + + + + 
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第28种走法 
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0 + + + + + + + 
+ + 0 + + + + + 
+ + + + + + + 0 
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+ 0 + + + + + + 
第29种走法 
+ 0 + + + + + + 
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0 + + + + + + + 
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第30种走法 
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0 + + + + + + + 
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第31种走法 
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第32种走法 
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第33种走法 
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第34种走法 
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第35种走法 
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第36种走法 
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第37种走法 
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0 + + + + + + + 
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第38种走法 
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第39种走法 
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第40种走法 
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0 + + + + + + + 
+ + + + 0 + + + 
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第41种走法 
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第42种走法 
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第43种走法 
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0 + + + + + + + 
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第44种走法 
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第45种走法 
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0 + + + + + + + 
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第46种走法 
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第47种走法 
+ 0 + + + + + + 
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0 + + + + + + + 
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第48种走法 
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第49种走法 
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第50种走法 
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0 + + + + + + + 
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第51种走法 
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第52种走法 
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0 + + + + + + + 
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第53种走法 
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第54种走法 
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第55种走法 
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第56种走法 
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第57种走法 
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第58种走法 
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第59种走法 
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0 + + + + + + + 
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第60种走法 
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第61种走法 
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+ + 0 + + + + + 
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0 + + + + + + + 
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+ 0 + + + + + + 
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第62种走法 
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0 + + + + + + + 
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第63种走法 
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0 + + + + + + + 
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第64种走法 
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+ + + + + 0 + + 
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+ + 0 + + + + + 
0 + + + + + + + 
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+ 0 + + + + + + 
第65种走法 
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第66种走法 
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+ 0 + + + + + + 
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第67种走法 
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0 + + + + + + + 
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第68种走法 
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0 + + + + + + + 
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第69种走法 
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+ 0 + + + + + + 
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+ + + + + + + 0 
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第70种走法 
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第71种走法 
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第72种走法 
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0 + + + + + + + 
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第73种走法 
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+ + + 0 + + + + 
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+ + 0 + + + + + 
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第74种走法 
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+ + + 0 + + + + 
+ 0 + + + + + + 
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0 + + + + + + + 
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+ + + + 0 + + + 
第75种走法 
+ + + + 0 + + + 
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+ + + 0 + + + + 
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0 + + + + + + + 
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第76种走法 
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+ 0 + + + + + + 
+ + + 0 + + + + 
0 + + + + + + + 
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第77种走法 
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0 + + + + + + + 
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第78种走法 
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+ 0 + + + + + + 
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0 + + + + + + + 
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第79种走法 
+ + + 0 + + + + 
+ + + + + 0 + + 
+ + + + + + + 0 
+ 0 + + + + + + 
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0 + + + + + + + 
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第80种走法 
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+ + 0 + + + + + 
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第81种走法 
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第82种走法 
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第83种走法 
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第84种走法 
+ + 0 + + + + + 
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第85种走法 
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第86种走法 
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第87种走法 
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+ 0 + + + + + + 
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第88种走法 
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+ 0 + + + + + + 
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0 + + + + + + + 
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第89种走法 
+ + + 0 + + + + 
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第90种走法 
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+ 0 + + + + + + 
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第91种走法 
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+ 0 + + + + + + 
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第92种走法 
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+ 0 + + + + + + 
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0 + + + + + + + 

8皇后问题有92种摆放方法。

参考资料

8皇后问题（java算法实现）

8皇后问题

前言

分析

完整的代码

参考资料

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