Machine Learning - Linear Algebr

作者: nafoahnaw | 来源:发表于2019-08-13 01:28 被阅读0次

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矩阵

从代码的角度上来讲可以看作二维数组,形如
$A=\left[ \begin{matrix} a & b & c & d & e\\ f & g & h & i & j \\ k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \end{matrix} \tag{1-1} \right]$

矩阵的维度

矩阵维度=#rows * #cols,(1-1)是一个4*5的矩阵

元素坐标

A_ij = i^th row && j^th col

向量

n * 1的矩阵就是向量,如下就是4维向量
$Y=\left[ \begin{matrix} a\\ f \\ k \\ p \end{matrix} \tag{1-2} \right]$
向量坐标表示:Y_i = i^th row

矩阵运算

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ 3 & 4\\ 4 & 2 \end{matrix} \tag{2-1} \right]$
$B=\left[ \begin{matrix} 4 & 2\\ 3 & 3\\ 2 & 2\\ 1 & 1 \end{matrix} \tag{2-2} \right]$

加法/减法

$A + B=\left[ \begin{matrix} 5 & 4\\ 5 & 4\\ 5 & 6\\ 5 & 3 \end{matrix} \tag{2-3} \right]$
$A - B=\left[ \begin{matrix} -3 & 0\\ -1 & -2\\ 1 & 2\\ 3 & 1 \end{matrix} \tag{2-4} \right]$
加法减法只要将对应的元素相加/相减即可,只适用于相同维度的矩阵之间.

标量乘法/除法

$2 * B=\left[ \begin{matrix} 8 & 4\\ 6 & 6\\ 4 & 4\\ 2 & 2 \end{matrix} \tag{2-5} \right]$
$B / 2=\left[ \begin{matrix} 2 & 1\\ 1.5 & 1.5\\ 1 & 1\\ 0.5 & 0.5 \end{matrix} \tag{2-6} \right]$

矩阵向量乘法

$X=\left[ \begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix} \tag{2-7} \right]$
$Y=\left[ \begin{matrix} j \\ h \end{matrix} \tag{2-8} \right]$
$X * Y=\left[ \begin{matrix} a * j + b*h \\ c *j + d*h \end{matrix} \tag{2-8} \right]$
n * m维度的矩阵 * m维度的向量 = n维度的向量
实际运用:
假设有方程h_θ(x) = -40 + 0.25*x
x为房屋面积,h_θ(x)为房屋面积与价格的函数,现在给出一组房屋面积如下:
$X=\left[ \begin{matrix} 50 \\ 60 \\ 70 \\ 80 \end{matrix} \tag{2-9} \right]$
我们有两种方法去算每个房屋面积所对应的价格,
第一:使用for循环依次求解
第二:构造矩阵一次性将所有解算出
构造矩阵如下:
$X'=\left[ \begin{matrix} 1 & 50 \\ 1 & 60 \\ 1 & 70 \\ 1 & 80 \end{matrix} \right]$
$P=\left[ \begin{matrix} -40 \\ 0.25 \end{matrix} \right]$
只要计算 X' * P即可将所有解一次性求出
$X' * P=\left[ \begin{matrix} -27.5 \\ -25 \\ -22.5 \\ -20 \end{matrix} \right]$

矩阵矩阵乘法

$X=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right]$
$Y=\left[ \begin{matrix} r & t & y \\ f & g & h \end{matrix} \right]$
$X * Y=\left[ \begin{matrix} a * r + b * f & a * t + b * g & a * y + b * h \\ c * r + d * f & c * t + d * g & c * y +d * h \end{matrix} \right]$
实际运用:
假设有现在由3个线性方程
1.h_θ(x) = -40 + 0.25x
2.h_θ(x) = 200 + 0.1x
3.h_θ(x) = -150 + 0.4x
x为房屋面积,h_θ(x)为房屋面积与价格的函数,现在给出一组房屋面积如下:
$X=\left[ \begin{matrix} 50 \\ 60 \\ 70 \\ 80 \end{matrix} \tag{2-9} \right]$
我们可以通过矩阵矩阵来一次性求出所有房屋面积在3个线性方程下的预测价格.
$X'=\left[ \begin{matrix} 1 & 50 \\ 1 & 60 \\ 1 & 70 \\ 1 & 80 \end{matrix} \right]$
$P=\left[ \begin{matrix} -40 & 200 & -150 \\ 0.25 & 0.1 & 0.4 \end{matrix} \right]$
计算X' * P的结果是一个4 * 3维度矩阵,矩阵的第一列的4个值代表给出的4个面积套用第一个线性方程所计算出的价格...以此类推.

单位矩阵

主对角线都是1,其他元素都是0的方形矩阵
$I=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]$
上图是一个2 * 2的单位矩阵
对于任意矩阵 A_m*n 有, A_m*n * I_n*n = I_m*m * A_m*n = A_m*n

逆矩阵

如果A是一个方形矩阵并且A有逆矩阵(0矩阵),则有
A * A^-1 = I = A^-1 * A

转置矩阵

假设有矩阵A_m*n,令B_n*m = A^T,则有
A_ij = B_ji

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