双数组二分查找
题目描述
| 来源 | 难度 | 时间复杂度 |
|---|---|---|
| 力扣 | 困难 | O( log(n) ) |
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。
示例 1：
输入： nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出： 2.00000
解释： 合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2
示例2：
输入： nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出： 2.50000
解释： 合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5
示例3：
输入： nums1 = [0,0], nums2 = [0,0]
输出： 0.00000
示例 4：
输入： nums1 = [], nums2 = [1]
输出： 1.00000
示例5：
输入： nums1 = [2], nums2 = []
输出： 2.00000
提示：
- nums1.length == m
- nums2.length == n
- 0 <= m <= 1000
- 0 <= n <= 1000
- 1 <= m + n <= 2000
- -106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
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分析
该问题如果不对时间复杂度和空间复杂度提出要求的话，通过最直接的方法可以通过。
考虑到问题规模，m + n <= 2000，我们设 N = m + n ，这个数据规模非常小。所以即使是 O(n*log(n)) 时间复杂度也可以顺利通过。
该问题按照时间复杂度，空间复杂度的优化程度分别有以下几种解法。
| 解决方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|
| 直接合并排序 + 索引查找 | O(N*log(N)) | O(N) |
| 归并合并排序 + 索引查找 | O(N) | O(N) |
| 双数组二分查找 方法 1 | O(log(N)) | O(1) |
| 双数组二分查找 方法 2 | O(log(N)) | O(1) |
解法 1： 直接合并排序 + 查找
这是最简单的思路。步骤非常的明确。
- 将数组
nums1和nums2合并为新的数组nums3。 - 用系统函数为
nums3进行排序。 - 寻找
nums3中位数。
nums1和nums2合并的时间复杂度为O(N)，排序复杂度为O(N*log(N))，由于需要另外开辟一个空间进行合并和排序，所以空间复杂度为O(N)。
最终在已经排好序的nums3上查找中位数，只要简单的进行中位索引取值即可，这部分复杂度为O(1)。
综上，该算法的总时间复杂度为O(N*log(N))，空间复杂度为O(N)。
解法2：归并合并排序 + 查找
解法2和解法1思路一样，也是合并nums1和nums2形成新的排序数组nums3，区别在于合并的过程。
由于已知nums1和nums2是各自已排序的数组，通过经典排序算法 归并排序 中的合并步骤就可以它们合并成新的排序数组。而该合并步骤的时间复杂度是O(N)。
剩余步骤和解法1相同。
综上，该算法的总时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)。
解法 3：双数组二分查找 方法 1
已知数组nums1和nums2都是已排序数组，自然不难考虑到可否在不合并的情况下，直接通过二分查找定位到合并后数组的中位数。
虽然算法不会合并nums1和nums2，但是依然会假设合并后经过排序的数组为nums3。
以0作为数组下标的初始下标，那么数组nums1由nums1[0..<m]组成，数组nums2由nums2[0..<n]组成，其中m和n是nums1和nums2的长度。
- 当
m + n为偶数时，中位数为nums3[(m+n)/2-1]和nums3[(m+n)/2]的平均值。 - 当
m + n为奇数时，中位数为nums3[(m+n-1)/2]。
因为不能直接合并nums3（这样会导致算法的复杂度变成O(N)），为了在不合并的情况下获取中位数，需要直接从nums1[0..<i]和nums2[0..<j]查找。
可以计算出，对于nums3，中位数必然存在于nums3[0..<(m+n)/2+1]内，其中(m+n)/2取的是下整。
因为nums1和nums2各自都是已排序的数组，可以证明nums3[0..<(m+n)/2+1]是由nums1[0..<i]和nums2[0..<j]组成，其中i + j = (m+n)/2+1，m >= i >= 0，m >= i >= 0 。
那么，寻找中位数的问题就被转换为寻找i和j的问题，且如果i已知，则j也已知，因为可以通过(m+n)/2+1-i获得。
那么接下去的问题就是，如何知道nums1[0..<i]和nums2[0..<j]组成的数组正是nums3[0..<(m+n)/2+1]。
分三种情况分析：
- 当
m=0时，nums1为空数组，不难得出当i=0且j=(m+n)/2+1时，nums1[0..<i]和nums2[0..<j]就是我们要找到子数组。 - 当
n=0时，同样可以得出当i=(m+n)/2+1且j=0时，nums1[0..<i]和nums2[0..<j]就是我们要找到子数组。 - 当
m>0且n>0时，当且仅当nums1[i-1]<=nums2[j-1]<=nums[i]，或者nums1[j-1]<=nums2[i-1]<=nums[j]时，nums1[0..<i]和nums2[0..<j]才是我们要找的子数组。
为了找到nums1[0..<i]和nums2[0..<j]，我们可以先任意指定一个i，因此j也得到了。然后我们通过以上分析法分析子数组是否找到，如果没找到，我们通过二分法移动i或者j，直到找到为止。
通过二分法移动i或者j时，移动的策略是：
- 当
nums1[i]<nums2[j-1]时，说明nums1还可以向右移，则需要右移i，左移j。 - 当
nums2[j]<nums2[i-1]时，说明nums2还可以向右移，则需要右移j，左移i。 - 移动的“步数”取决于
nums1和nums2移动范围，我们每次选择移动范围更小的那个进行二分，不然移动就会溢出，当确定了移动步数后，另一个数组只要朝相反的方向移动同样步数即可，这样i+j的结果始终恒定。
并且需要考虑如下边界情况：
- 当
i需要左移但是i=0时，说明nums1的数据全部小于nums2，直接返回nums2的对应子数组。 - 当
j需要左移但是j=0时，说明nums2的数据全部小于nums1，直接返回nums1的对应子数组。
当nums1[0..<i]和nums2[0..<j]顺利被找到时，接下去是解决如何得出中位数。
可以分如下情况：
- 当
m+n结果为奇数时，中位数等于nums1[i-1]，nums2[j-1]两个数（如果其中任何数因为边界问题不存在则忽略）中最大的值。 - 当
m+n结果为偶数时，中位数等于nums1[i-1]，nums1[i-2]，nums2[j-1]，nums2[j-2]四个数（如果因为边界问题不存在则忽略）中最大的两个值，取两个值的平均值。
基础思路说完，接下去就是上代码部分。
为了让算法思路更清晰，对代码进行适度的封装。首先因为涉及到“定制的”二分算法，所以封装一个结构体用来描述搜索范围。
struct RANGE {
var begin = 0
var end = 0
var center = 0
mutating func set(_ b: Int, _ e: Int, _ c: Int) {
begin = b
end = e
center = c
}
}
定义一个cmp函数，用来描述需要左移、需要右移还是已经找到子数组的情况。
func cmp(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
guard a != -1 && b != -1 else { return 0 }
if nums1[a] >= nums2[b] {
return b + 1 >= nums2.count || nums2[b+1] >= nums1[a] ? 0 : 1
}
return a + 1 >= nums1.count || nums1[a+1] >= nums2[b] ? 0 : -1
}
定义一个mov函数，处理子数组移动的情况，当一个子数组范围往一边移动时，必然会让另一个子数组往相反方向移动。
func mov(_ r1: inout RANGE, _ r2: inout RANGE, _ mv: Int) {
r1.end = r1.center
r1.center -= mv
r2.begin = r2.center + 1
r2.center += mv
}
接下去就是最重要的搜索部分。搜索search()函数将返回一个范围值，返回的结果就是nums1和nums2各自的子数组结果。和之前描述的略有差异的是，返回的结果下标为子数组最后一个数字的下标。如果其中一个子数组不存在，则下标返回-1。
func search() -> (Int, Int) {
let n = (nums1.count + nums2.count) / 2 + 1
if nums1.isEmpty {
return (-1, n - 1)
} else if nums2.isEmpty {
return (n-1, -1)
}
var range1 = RANGE()
var range2 = RANGE()
if nums1.count < nums2.count {
range1.set(0, nums1.count, nums1.count / 2)
range2.set(0, nums2.count, n - 2 - range1.center)
} else {
range2.set(0, nums2.count, nums2.count / 2)
range1.set(0, nums1.count, n - 2 - range2.center)
}
var t = cmp(range1.center, range2.center)
while t != 0 {
if t > 0 {
var mv = 0
if range1.center - range1.begin < range2.end - 1 - range2.center {
mv = (range1.center - range1.begin + 1) / 2
} else {
mv = (range2.end - range2.center) / 2
}
guard mv != 0 else { return (-1, n-1) }
mov(&range1, &range2, mv)
} else {
var mv = 0
if range1.end - 1 - range1.center < range2.center - range2.begin {
mv = (range1.end - range1.center) / 2
} else {
mv = (range2.center - range2.begin + 1) / 2
}
if mv == 0 {
return (n-1, -1)
}
mov(&range2, &range1, mv)
}
t = cmp(range1.center, range2.center)
}
return (range1.center, range2.center)
}
最后，函数answer用来计算已知返回了两个子数组的情况下，计算中位数的结果。
func answer(_ s: (Int, Int)) -> Double {
var m1 = Int(Int32.min)
var m2 = Int(Int32.min)
if (nums1.count + nums2.count) % 2 == 0 {
if s.0 != -1 {
m1 = nums1[s.0]
if s.0 > 0 { m2 = nums1[s.0-1] }
if m2 > m1 { swap(&m1, &m2) }
}
if s.1 != -1 {
if nums2[s.1] > m2 { m2 = nums2[s.1] }
if m2 > m1 { swap(&m1, &m2) }
if s.1 > 0 && nums2[s.1-1] > m2 { m2 = nums2[s.1-1] }
if m2 > m1 { swap(&m1, &m2) }
}
} else {
if s.0 != -1 { m1 = nums1[s.0] }
if s.1 != -1 { m1 = max(m1, nums2[s.1]) }
m2 = m1
}
return (Double(m1) + Double(m2)) / 2.0
}
let s = search()
return answer(s)
}
整体代码如下：
class Solution {
func findMedianSortedArrays(_ nums1: [Int], _ nums2: [Int]) -> Double {
struct RANGE {
var begin = 0
var end = 0
var center = 0
mutating func set(_ b: Int, _ e: Int, _ c: Int) {
begin = b
end = e
center = c
}
}
func cmp(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
guard a != -1 && b != -1 else { return 0 }
if nums1[a] >= nums2[b] {
return b + 1 >= nums2.count || nums2[b+1] >= nums1[a] ? 0 : 1
}
return a + 1 >= nums1.count || nums1[a+1] >= nums2[b] ? 0 : -1
}
func mov(_ r1: inout RANGE, _ r2: inout RANGE, _ mv: Int) {
r1.end = r1.center
r1.center -= mv
r2.begin = r2.center + 1
r2.center += mv
}
func search() -> (Int, Int) {
let n = (nums1.count + nums2.count) / 2 + 1
if nums1.isEmpty {
return (-1, n - 1)
} else if nums2.isEmpty {
return (n-1, -1)
}
var range1 = RANGE()
var range2 = RANGE()
if nums1.count < nums2.count {
range1.set(0, nums1.count, nums1.count / 2)
range2.set(0, nums2.count, n - 2 - range1.center)
} else {
range2.set(0, nums2.count, nums2.count / 2)
range1.set(0, nums1.count, n - 2 - range2.center)
}
var t = cmp(range1.center, range2.center)
while t != 0 {
if t > 0 {
var mv = 0
if range1.center - range1.begin < range2.end - 1 - range2.center {
mv = (range1.center - range1.begin + 1) / 2
} else {
mv = (range2.end - range2.center) / 2
}
guard mv != 0 else { return (-1, n-1) }
mov(&range1, &range2, mv)
} else {
var mv = 0
if range1.end - 1 - range1.center < range2.center - range2.begin {
mv = (range1.end - range1.center) / 2
} else {
mv = (range2.center - range2.begin + 1) / 2
}
if mv == 0 {
return (n-1, -1)
}
mov(&range2, &range1, mv)
}
t = cmp(range1.center, range2.center)
}
return (range1.center, range2.center)
}
func answer(_ s: (Int, Int)) -> Double {
var m1 = Int(Int32.min)
var m2 = Int(Int32.min)
if (nums1.count + nums2.count) % 2 == 0 {
if s.0 != -1 {
m1 = nums1[s.0]
if s.0 > 0 { m2 = nums1[s.0-1] }
if m2 > m1 { swap(&m1, &m2) }
}
if s.1 != -1 {
if nums2[s.1] > m2 { m2 = nums2[s.1] }
if m2 > m1 { swap(&m1, &m2) }
if s.1 > 0 && nums2[s.1-1] > m2 { m2 = nums2[s.1-1] }
if m2 > m1 { swap(&m1, &m2) }
}
} else {
if s.0 != -1 { m1 = nums1[s.0] }
if s.1 != -1 { m1 = max(m1, nums2[s.1]) }
m2 = m1
}
return (Double(m1) + Double(m2)) / 2.0
}
let s = search()
return answer(s)
}
}
解法 3：双数组二分查找 方法 2
双数组二分查找的方法2和方法1策略类似，唯一不同的是该方法定义了的搜索函数findValueAtIndex是 搜索nums1和nums2组成的nums3中的第k个元素 。而该函数的实现策略选用了双数组二分。
借助该函数，我们就能轻松的获得中位数。
源代码如下。
// O(log(n))复杂度解法 2
class Solution {
class Scope {
var begin = 0
var end = 0
var center: Int { !valid ? -1 : (begin + end) / 2 }
var valid: Bool { end > begin }
var count: Int { end - begin }
func moveRight() { begin = center }
func moveLeft() { if valid { end = center } }
}
func findMedianSortedArrays(_ nums1: [Int], _ nums2: [Int]) -> Double {
func findValueAtIndex(_ index: Int) -> Int {
let scope1 = Scope()
let scope2 = Scope()
scope1.end = nums1.count
scope2.end = nums2.count
while scope1.valid || scope2.valid {
let v1 = scope1.valid ? nums1[scope1.center] : Int.min
let v2 = scope2.valid ? nums2[scope2.center] : Int.min
let currentIndex = scope1.center + scope2.center + 1
if v1 < v2 {
if currentIndex == index {
if scope1.valid && scope1.center + 1 < scope1.end && nums1[scope1.center+1] < nums2[scope2.center] {
scope2.moveLeft()
} else {
return nums2[scope2.center]
}
} else if currentIndex < index {
scope1.count <= 1 ? scope2.moveRight() : scope1.moveRight()
} else if currentIndex > index {
scope2.moveLeft()
}
} else {
if currentIndex == index {
if scope2.valid && scope2.center + 1 < scope2.end && nums2[scope2.center+1] < nums1[scope1.center] {
scope1.moveLeft()
} else {
return nums1[scope1.center]
}
} else if currentIndex < index {
scope2.count <= 1 ? scope1.moveRight() : scope2.moveRight()
} else {
scope1.moveLeft()
}
}
}
return 0
}
let c1 = nums1.count
let c2 = nums2.count
if (c1 + c2) % 2 == 0 {
let i1 = (c1 + c2) / 2
let i2 = i1 - 1
let v1 = findValueAtIndex(i1)
let v2 = findValueAtIndex(i2)
return (Double(v1) + Double(v2)) / 2.0
} else {
let i = (c1 + c2) / 2
let value = findValueAtIndex(i)
return Double(value)
}
}
}
总结
这是道个人认为非常经典考察对二分查找理解的题，该题目提供了两个已排序数组，如果要在O(1)和O(log(n))空间内解决该问题，就非要对两个数组进行二分查找而不进行重排不可。
力扣的题解里有非常精巧的代码解法，但是看了下基本思路无外乎我提供了第3和第4种解法，加上语言上的技巧可以让代码更精简。
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