• 题目：4. 寻找两个有序数组的中位数
• 难度：困难
• 分类：数组
• 解决方案：二分查找、分治算法
  

今天我们学习第4题寻找两个有序数组的中位数，这是我们遇到的第一个困难题。这个题目很新颖，需要打破常规思维去思考。下面我们看看这道题的题目描述。

题目描述

给定两个大小为m和n的有序数组nums1和nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为O(log(m + n))。
你可以假设nums1和nums2不会同时为空。
示例1：

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例2：

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

分析

从题目可以知道，需要让我们在两个有序数组中找中位数。我们先分析一个有序数组的中位数，当有序数组的个数为奇数时，如nums=[1, 2, 3, 4, 5]，该数组的中位数为nums[2]=3；当有序数组的个数为偶数时，如nums=[1, 2, 3, 4, 5, 6]，该数组的中位数为(nums[2]+nums[3])/2=3.5。如图1所示，我们用同一公式可求出任意个数有序数组的中位数。

图1.中位数求解思路

理解一个有序数组中位数求解过程后，对于两个有序数组来说，我们只要找出第(m+n+1)/2大的数和第(m+n+2)/2大的数，然后求平均数即可。注意这里的第(m+n+1)/2大的数中m和n分别指两个数组的大小，m+n如图1中的muns.length，第(m+n+1)/2大的数是指我们假设这两个数组组合成一个有序数组后找出第(m+n+1)/2大的数（这里为什么没有像图1中进行减1？因为我们这里说的第几大的数下标是从1开始的；而图1中需要减1是因为使用的数组，下标是从0开始的）。

接下来我们在这两个有序数组中找到第(m+n+1)/2大的数和第(m+n+2)/2大的数，抽象后可表述为在两个有序数组中找第k大的数。由于题目要求我们的时间复杂度为O(log(m+n))，我们很容易联想到二分查找。当查找时，我们还需要考虑一些特殊情况：
(1) 当某个数组查找的起始位置大于等于该数组长度时，说明这个数组中的所有数已经被淘汰，则只需要在另一个数组找查找即可
(2)如果k=1时，即需要查找第一个数，则找到两个数组起始位置中最小的那个即可。处理完特殊情况后，我们来分析一般情况。这里所说的二分是指对数组的大小进行二分还是指对k进行二分。
以前我们对一维数组进行二分查找时，一般都是对数组大小进行二分，而这里需要对k进行二分。意思是，我们需要在两个数组查找第k/2大的数，由于这两个数组的长度不定，有可能存在有一个数组中没有第k/2大的数，如果没有则赋值为整型最大值。对于查找的具体过程，详见java代码。

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        int l = (m + n + 1) / 2;
        int r = (m + n + 2) / 2;
        return (getKth(nums1, 0, nums2, 0, l) + getKth(nums1, 0, nums2, 0, r)) / 2.0;
    }
    
    // 在两个有序数组中二分查找第k大元素
    private int getKth(int[] nums1, int start1, int[] nums2, int start2, int k){
        // 特殊情况(1)，分析见正文部分
        if(start1 > nums1.length-1) return nums2[start2 + k - 1];
        if(start2 > nums2.length-1) return nums1[start1 + k - 1];
        // 特征情况(2)，分析见正文部分
        if(k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);
        
        // 分别在两个数组中查找第k/2个元素，若存在（即数组没有越界），标记为找到的值；若不存在，标记为整数最大值
        int nums1Mid = start1 + k/2 - 1 < nums1.length ? nums1[start1 + k/2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        int nums2Mid = start2 + k/2 - 1 < nums2.length ? nums2[start2 + k/2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        
        // 确定最终的第k/2个元素，然后递归查找
        if(nums1Mid < nums2Mid)
            return getKth(nums1, start1 + k/2, nums2, start2, k-k/2);
        else
            return getKth(nums1, start1, nums2, start2 + k/2, k-k/2);
    }
}

提交结果.png

整个算法流程的时间复杂度为O(log(m+n))，空间复杂度为O(1)。

Github地址

LeetCode-4 寻找两个有序数组的中位数

参考链接

4. 寻找两个有序数组的中位数

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