反思

起始课应把“基本套路”作为核心目标

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用．因此，本课的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面：

（1）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与数于一身”的特征；

（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量（主要是联系数及其运算、直线（段）的平行和共线等）；

（3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路（思路）．

如果从更深层次考虑，上述目标更本质的是“数学育人”．数学课堂应始终把育人目标放在首位，当然要将它融入知识的教学中．本课似乎“没什么东西可讲”，也没什么难点，因此不愁完不成教学任务，但这只能指陈述性（或明确）知识目标的实现．向量概念的重要性不言而喻，而作为“起始”，本课的教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、构建研究蓝图”的大气．要让学生感受到数学概念产生、发展的基本过程，体会到研究数学问题的基本套路，进而提高提出问题、研究问题的能力，这才算充分挖掘了本课内容的育人资源，才算体现了向量概念的教学价值．

2．概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动

前已述及，许多老师认为本课概念多但不难理解．多次观摩本课的教学，看到的大多是沉闷的课堂，教师讲得乏味，学生学得无趣．事实上，许多概念课都有这种弊端．有的老师可以把解题讲得头头是道，但概念教学就没词、没招了．我们认为，概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的理由．

让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，把学生卷入其中；另一方面要让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与．

概念的形成过程充满矛盾冲突，这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件．比如，考察司空见惯的“量”，有的“只有大小没有方向”，有的“既有大小又有方向”，在比较中就产生了区别的需要，这就是向量概念的生长点．与人出生后要起名字一样，我们要给新的数学对象命名，并且要与它的本质相吻合，要区别于其他概念，“方向”就成了区别的标准，没有“方向”的叫数量，有“方向”的叫向量，概念的产生自然而然．

概念抽象需要典型实例．谁来找例子？教师自作自画，自己举例、概括，自己给定义，就可能枯燥乏味．比如，告诉学生什么叫平行向量、相等向量、相反向量等，学生被动听，没有参与机会，不仅枯燥乏味，而且会使学生理解不透．如果让学生举例，要求尽量举不同的例，就会迫使他们开动脑子，就有可能举出不同的、有趣的例，就会百花齐放．这样，生动活泼的场面自然形成，而且在举例过程中，有独立思考、合作交流，甚至有争辩，这就形成了促进概念理解的机制．让学生举例可以促进学生思维的深度参与，因为好例子需要以理解概念的本质属性为基础．实际上，概念教学中的“参与”，其关键是参与从典型实例中概括概念本质特征的活动．

举例后，还要让学生讲理由，让其他同学来补充，相互启发、交流互动，生动活泼的局面自然就出现了．比如，探索“向量的表示”时，一个学生在黑板上画了带箭头的线段表示力，但没有用字母标注起点、终点．笔者没有替他标上，而是问：“大家有什么要补充的吗？”有几位同学不请自来，有的标上字母，有的标出大小……经过教师启发和全班努力，终于明确了向量的几何表示的正确方法．在这个过程中，全体同学热情参与，自我教育、互帮互学，想让课堂不生动活泼都难．也许有人认为，这是小题大做，浪费时间．但我们认为这样做不仅使课堂生动活泼，更重要的是体现概念的形成，这才是落实双基的教学，长期坚持可以让学生养成好的学习习惯．如果总是老师替学生完善表达，不仅生动活泼的局面难以形成，更糟糕的是剥夺了学生的思考机会．

事实上，由于数学概念的高度抽象性，对任何一个貌似简单的概念，学生往往都要费很大周折才能理解。许多教师对此不能保持高度警觉，常常认为自己容易的学生也然，没有意识到自己的“容易”是经历了千辛万苦、长期积累才得到的。这种心理导致了师生交流的许多障碍，是造成教师不是从学生的角度出发，针对学生的理解困难展开教学的主要原因。因此，教师要对这种心理保持高度警惕，努力从学生的认知水平出发，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是非常要紧的．

3．概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”

“人教A版”的主编寄语中说：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的．如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味．”我们认为，这应该成为概念教学的基本指导思想．概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”．本课的教学，我们力求使学生了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的课题．

从课堂教学的要求看，概念教学的自然和水到渠成应包括两方面：一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理逻辑的自然，主要是思维过程的自然．“自然的概念教学过程”是上述两方面的融合．因此，向量概念的教学中，我们注意了从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义（区别于“只有大小没有方向的量”）、讨论向量的表示（重点是几何表示）、定义特殊的向量、研究特殊的关系（特别是相等向量）．在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，主要强调了“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰时恰点地“以问题引导学习”，在“追问（质疑）——反思”的过程中深化概念的理解，使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果．

4．“创造性地使用教材”的前提是深刻理解教材

本次课改提出“用教材教”“创造性地使用教材”的理念，这对教师理解和处理教材提出了更高要求．我们认为，深刻理解教材的编写意图是“创造性地使用教材”的前提．

“平行向量”、“共线向量”等概念，教材是这样呈现的：先介绍概念，然后以一个例子作为概念的应用与巩固；“相反向量”在向量的减法运算中给出．教科书按知识的逻辑顺序呈现，无疑是正确的．如果按教材顺序组织教学，一定能顺利完成任务，学生也会掌握得不错．但这是“教师告诉，提醒注意，练习巩固”的办法，学生的主动思维无法调动．因此我们根据教材的基本思路，先让学生研究问题4，目的是给学生参与概括概念本质特征的机会，实实在在地经历概念的形成过程．观察过程中，必然要利用向量的定义，要从“方向”和“大小”两个方面展开思考．于是，平行向量（共线向量）就很容易被概括出来；相等向量、相反向量等概念的产生也比较自然．教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义．

值得指出的是，这样处理教材，自然而然地要求学生联系相关概念．比如，由图形呈现的“平行直线段”自然产生了“平行向量”；再增加长度相等、方向相同或相反，就产生了相等向量或相反向量．属差决定了向量之间的区别，就有了引入新概念的必要性．这里，学生还经历了对向量的关系进行分类的思考：以是否平行为标准，一类是共线向量（平行向量），另一类是不共线向量（不平行向量），这是由向量的“方向”属性决定的．如何区分不平行的向量？又有了引入新概念的必要性，这就是向量的夹角（这是后话）．

总之，这样处理教材后，我们构建了一个真正的问题情境，学生可以从中学习如何获得研究的对象、如何提出研究的问题、如何找到研究的方法．从课堂小结看，这一目标已经实现。学生不仅能说出具体知识，而且还能准确地说出“分成三个部分”——向量的表示、特殊向量、特殊关系（说成向量的性质）．这些是课本中找不到的，需要具有一定概括能力．

5．明确零向量的意义与作用，不过分纠缠于细节

本课的教学中，大多数教师都不恰当地在“零向量与任意向量平行”上狠下功夫，原因是“这是考试中的一个陷阱”．我们认为这是对零向量的意义和作用理解不到位的表现．

首先，规定“零向量与任意向量平行”是完善概念系统的需要．“平行向量”是向量间的关系定义，自然应针对全体向量而言，不能排斥零向量．因此，需要对平行向量的概念加以补充定义．由于零向量的长度为零方向任意，因此，规定“零向量与任意向量平行”也在情理之中．

其次，就像数0的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义．例如，，，都是非零向量，如果+=0，则与是相反向量；如果++=0，则，，首尾相接围成三角形；等．这些结论在解决几何问题时作用很大．

因此，孤立地讨论零向量与任意向量平行没有多少意义，更不应作为考题津津乐道地考学生．本节课上，我们只明确了这一规定，没有耗费过多笔墨。否则，把注意力吸引到这里，就把简单问题复杂化了．

四、结束语：追求概念教学的本来面目

我们在“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题研究中提出，一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”．这是因为“数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，是数学家智慧的结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材．数学是玩概念的，数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式、方法迁移能力也最强．所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握‘书本知识’，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力．”[3]概念教学要返璞归真，在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目．要让学生参与概念本质特征的概括过程，这是概念教学中培养学生的创新精神和实践能力的必由之路．