本篇文章将结合《算法》第4版、业界大牛的博客和自己的理解，具体描述关于算法的时间复杂度计算，如有错误，请大佬指出。相关内容参考刘望舒大神的博客，如有侵权，请联系我删除，谢谢。
时间复杂度
1.基础概念
指执行算法所需要的时间，用算法所执行的基本运算次数来度量。首先，了解几个主要的概念：
问题规模，也就是算法的规模，记为n 。
时间频度，指算法所执行的基本运算次数，记为T(n) 。当问题的规模n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
时间复杂度的数学定义(大O表示法)：若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。(注：大O表示法是用O( )来体现算法时间复杂度的记法)
时间复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估，但是评估最坏情况基本可以避免所有可能存在的问题，因此一般情况下，都是直接估算最坏情况的复杂度。
大O表示法O(f(n))中的f(n)的值可以是任何值，但是为了便于推导，f(n)的值定为1、n、log₂n、n²等，进而可以将O(1)、O(n)、O(log₂n)、O(n²)分别可以称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶。
从上面的内容可以知道，通过推导f(n)可以得到算法的复杂度。下面就开始入正题了。
我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法：
1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
我们可以通过几个不同的例子🌰来验证一下以上的规则。
常数阶
int sum = 0,n = 100; //执行一次
sum = (1+n)*n/2; //执行一次
System.out.println (sum); //执行一次
总共执行了3次
上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。即便sum = (1+n)*n/2这条语句再执行10遍，但这与问题规模n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，这就是常数阶的特性。
线性阶
这部分最明显的例子是循环结构。
int sum = 0；
for(int i=0;i<n;i++){
sum = i + sum; //时间复杂度为O(1)的算法
}
上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。
对数阶
int number=1;
while(number<n){
number=number*2;//时间复杂度为O(1)的算法
}
仔细观察上面的代码可以看出，随着number每次乘2后，值都会越来越大，也越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(log₂n)。
平方阶
这部分最明显的例子是循环嵌套结构，而且分2种情况。
第一种情况：
int sum = 0；
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;i++){
sum = i + sum; //时间复杂度为O(1)的算法
}
}
经过上面的线性阶可以得知内层循环的时间复杂度是O(n)，现在外层也循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。
第二种情况：
int sum = 0；
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i;j<n;i++){
sum = i + sum; //时间复杂度为O(1)的算法
}
}
注意！在这里内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，我们可以推算出总的执行次数为：
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n²/2+n/2
根据规则2：只保留最高阶，因此保留n²/2。根据规则3：去掉和这个项相乘的常数，则去掉1/2,最后得出时间复杂度也为O(n²)。所以平方阶的时间复杂度就为O(n²)。是不是很神奇，虽然分为2种情况，但最终时间复杂度是一样的，我也被吓到了。
其他常见复杂度
除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度：
f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，可以称为nlogn阶。
f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，可以称为立方阶。
f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，可以称为指数阶。
f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，可以称为阶乘阶。
f(n)=(√n)时，时间复杂度为O(√n)，可以称为平方根阶。
常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)
这一篇讲的是时间复杂度的计算，内容比较多，但是个人感觉都比较重要。下一篇开始讲数据结构，都是面试常考点啊，敬请期待<(￣︶￣)>。
网友评论