一、认识矩阵

• 假设在空间有⼀个点，使⽤ xyz 描述它的位置。此时让其围绕任意位置旋转⼀定⻆度后，我们需要知道这个点的新的位置，此时需要通过矩阵进⾏计算。
• 因为新的位置的x 不单纯与原来的x 还和旋转的参数有关，甚⾄于y和z坐标有关。
• 矩阵只有⼀⾏或者⼀列都是合理的. 只有⼀⾏或者⼀列数字可以称为向量. 也可以称为矩阵。
• OpenGL中的矩阵，是以列为主的排序。
  在其他编程标准中，许多矩阵库定义⼀个矩阵时，是使⽤⼆维数组。
  在OpenGL的约定⾥，可以使用一维数组和二维数组，但是更多倾向使⽤ ⼀维数组。这样做的原因是: OpenGL 使⽤的是 Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定

向量： 请看上一篇文章向量 。
矩阵：我们来看下百度给的定义：

方阵：⾏数和列数相同的矩阵。例如2 * 2、3 * 3、4 * 4矩阵。

行矩阵、列矩阵：根据不同编程定义不同，是一个优先顺序

单元矩阵：对角线元素都为1，其他元素都为0的矩阵。也可以看做是1。

矩阵在OpenGL中的初始化方法：

//三维矩阵声明
typedef float M3DMatrix33f[9];

//四维矩阵的声明
typedef float M3DMatrix44f[16];

单元矩阵初始化的三种方法：

//单元矩阵初始化⽅式1
GLFloat m[] = {
  1,0,0,0, //X Column
  0,1,0,0, //Y Column
  0,0,1,0, //Z Column
  0,0,0,1 // Translation
}


// 单元矩阵初始化⽅式 2
M3DMatrix44f m = {
  1,0,0,0, //X Column
  0,1,0,0, //Y Column
  0,0,1,0, //Z Column
  0,0,0,1 // Translation
}


//单元矩阵初始化⽅式3
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

⼀个4*4矩阵是如何在3D空间中表示⼀个位置和⽅向的？

• 如下图。列向量进⾏了特别的标注：矩阵的最后⼀⾏都为0，只有最后⼀个元素为1

• 如果将⼀个对象所有的顶点向量 乘以这个矩阵,就能让整个对象变换到空间中给定的位置和⽅向

  
  图片.png

二、矩阵的使用

1、矩阵转置

沿着对角线翻折，使 行矩阵变列矩阵 或者 列矩阵变行矩阵。

2、标量 x 矩阵

3、向量 x 矩阵

• 向量也可以看做是一个1 * n矩阵，或者n * 1矩阵。同样要满足 前矩阵的列 = 后矩阵的行 才可以相乘。否则没有意义。

• 比如：1 * 3代表向量 和 3 * 3代表矩阵。向量 * 矩阵 是可以的。矩阵 * 向量是没有意义的。

  
  

如此，我们可以得出：

• ⾏向量左乘矩阵时，结果是⾏向量；
• 列向量右乘矩阵时，结果是列向量；
• ⾏向量右乘矩阵时，结果是⽆意义；
• 列向量左乘矩阵时，结果是⽆意义；
• 结果向量中的每个元素都是原向量与矩阵中单独⾏或列的点积；
• 矩阵和向量乘法满⾜对向量加法的分配律，对于向量v、w 和 矩阵M ，
  (v + w)M = vM + wM;

4、矩阵 x 矩阵

• 前矩阵的列 = 后矩阵的行 才可以相乘

• 1.在满足相乘法则的情况下，[任意矩阵M]乘以[⽅阵S],不管从哪边乘，都得到与原矩阵⼤⼩相同的矩阵。当然，前提是假定乘法有意义。如果S是单位 矩阵，结果就是原矩阵M，即:MI = IM = M 。 ·
• 2.矩阵乘法不满⾜交换律，即:AB != BA
• 3.矩阵乘法满⾜结合律，即:(AB)C = A(BC)。假定ABC的维数使得其乘法有意义，要注意如果(AB)C有意义，那么A(BC)就 ⼀定有意义。
• 4.矩阵乘法也满⾜与标量或向量的结合律，即:(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB);
• 5.矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序乘法，即：(AB)T = BT AT

5、OpenGL中的矩阵左乘

线性代数中，矩阵相乘坐标计算是 从左向右的顺序（右乘），如下：
变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro （MVP）
变换后顶点向量 = 顶点 x 模型矩阵 x 观察矩阵 x 投影矩阵

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但是，在OpenGL中是相反的顺序（左乘），如下：
变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local （PVM）
变换顶点向量 = 投影矩阵 x 视图变换矩阵 x 模型矩阵 x 顶点

图片.png 图片.png

• 1. 从栈顶获取栈顶矩阵 复制到 mTemp这个临时变量中
• 2. 将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix
• 3. 将结果放回栈顶空间⾥

我们代码段中矩阵的先手顺序：

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