chpt.3 能量均分

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-01-06 16:21 被阅读0次

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作为第三章的收尾，我打算简单提一下能量均分(equipartition of energy)。

$\bullet$ 回忆之前关于单原子方盒问题中系综能量的计算，我们得到 $U = \frac{3}{2}\tau$ 。均分定理告诉我们，系综能量可根据微粒自由度被均分为单位能量 $\frac{1}{2}\tau$ 。所以，当微粒自由度为 $3$ 时，系综能量为 $U = 3\times \frac{1}{2}\tau = \frac{3}{2}\tau$ 。

$\bullet$ 对于经典统计力学而言，微粒的能量可用含有动量的式子表示： $\varepsilon = \frac{p^2}{2M}$ ，其中 $M$ 是微粒的质量。

玻尔兹曼分布则具有形式：

$P(p) \propto e^{-p^2/2M\tau}$

于是，对应的配分函数为：

$Z_1 \propto \iiint e^{-\left[(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/2M\tau\right]}dp_xdp_ydp_z$

而

$\begin{align*} \iiint e^{-\left[(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/2M\tau\right]}dp_xdp_ydp_z &= \left(2\int_{p_x=0}^{\infty}e^{-p_x^2/2M\tau}dp_x\right)^3\\ &= \left(\sqrt{2M\tau}\int_{\tau=0}^{\infty}e^{-\zeta}\zeta^{-1/2}d\zeta\right)^3\\ &= \left(2M\tau\pi\right)^{3/2} \end{align*}$

所以

$Z_1 \propto \left(2M\tau\pi\right)^{3/2}$

$\bullet$ 系综能量同样： $U = \tau^2\frac{\partial\log Z_1}{\partial \tau} = \tau^2\frac{\partial}{\partial\tau}\frac{3}{2}\log(2M\tau\pi) = \frac{3}{2}\tau$

$\bullet$ 在经典力学中，当系统的哈密顿函数是关于正则动量的二阶齐次式时，热平均动能在经典情况下为 $\frac{1}{2}\tau$ ；而如果哈密顿函数是关于位置坐标分量的二阶齐次式时，热平均势能也将同样为 $\frac{1}{2}\tau$ 。所以该结论可直接用于经典情况下的谐振子(harmonic oscillator)模型。

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