概率论与数理统计笔记 第二章 随机变量及其概率分布

# 概率论与数理统计笔记 第二章 随机变量及其概率分布概率论与数理统计笔记（计算机专业） 作者： [CATPUB](www.catpub.cn) 新浪微博：@catpub课程：中国大学MOOC浙江大学概率论与数理统计部分平台可能无法显示公式，若公式显示不正常可以前往CSDN或作业部落进行查看## 第9讲 随机变量- 定义 - 随机变量 $X(e)$，$X$ 是 $S\to R$ 的函数，$e$ 是样本点 - 自变量 $e\subset S$ - 随机事件 $A=\{e|X(e)=I\}=\{X=I\}$ - 如多次投掷骰子，随机事件 {6点在第3次出现} 可以记作 ${X=3}$，$X$ 是随机变量- 随机变量 - 离散型随机变量，值的集合的基数小于等于阿列夫零（离散数学概念） - 连续型随机变量- 分布律 - | $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $...$ | $x_k$ | $...$ | | :--: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $...$ | $p_k$ | $...$ | - $$P(X=x_k)=p_k\ (k=1,2,...)$$- 几何分布 Geometric Distribution - 多次投掷骰子，$6​$ 点第一次出现时投掷的次数 - | $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $...$ | $k$ | $...$ | | :--: | :-------------: | :-----------------------------: | :----------------------------------: | :---: | :--------------------------------------: | :-----: | | $P$ | $$\frac{1}{6}$$ | $$\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}$$ | $$(\frac{5}{6})^2 \cdot\frac{1}{6}$$ | $...$ | $$(\frac{5}{6})^{k-1} \cdot\frac{1}{6}$$ | $$...$$ | ​## 第10讲 离散型随机变量- $0\text{-}1$分布（两点分布） - $$P(X=k)=p^k(1-p)^{n-k}$$ - | $X$ | $0$ | $1$ | | :--: | :---: | :---: | | $P$ | $1-p$ | $1-p$ | ​ - 若X服从两点分布，则单次试验称为伯努利（Bernoulli）试验 - 0 记为$X\sim 0\text{-}1(p)$ - 也记为 $X\sim B(1,p)​$，$B​$ 是Binomial的意思，两点分布可以看作Binomial分布的特例 - $\sim$ 读作服从于- 二项分布 Binomial Distribution - $$P(X=k)=C_n^k\cdot P^k\cdot (1-p)^{n-k}$$ - $n$ 重Bernoulli实验，事件发生次数 $k$ 的统计规律 - 记为$X\sim B(n,p)$- 泊松分布 Poisson Distribution - $$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\ (k=0,1,2,...)$$ - 记为 $X\sim \pi(\lambda)$ 或 $x\sim P(\lambda)$- Poisson Distribution与Binomial Distribution的关系 - 当 $n$ 很大 $p$ 很小的时候 - $$C_n^k P^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\ \lambda=np$$- 几何分布 Geometric Distribution - $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$ - 记为 $X\sim Geom(p)$ - 实例：研究段誉多少次施展武功能成功的统计规律## 第11讲 分布函数- 定义 - $F_X(x)=P(X\leq x)$- 离散型的随机变量分布函数为阶梯函数- 性质 - $P(a,\geq ,<,\leq$ 不敏感，即对端点取值不敏感## 第13讲 均匀分布和指数分布- 均匀分布 Uniform Distribution - $$f(x)=\frac{1}{b-a}\ a\leq x0$$

- $$F(x)=1-e^{-\lambda x}\ x>0$$

- 记为 $X\sim E(\lambda)$ 或 $X\sim Emp(\lambda)$

- 指数分布具有无记忆性（Memoryless Property）且在连续性随机变量的分布中，只有指数分布具有无记忆性

- 实例：设旅客等待时间服从指数分布，则已知旅客已经等了20分钟，求旅客再等5分钟的概率，和旅客从头开始等5分钟的概率相同

- 即 $P(X>25|X>20)=P(X>5)$

- 指数分布常用来表示独立随机事件发生的时间间隔，如中文维基百科新条目出现的时间间隔

- 在排队论中，一个顾客接受服务的时间长短也可以用指数分布来近似

## 第14讲 正态分布

- 正态分布 Normal Distribution

- $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

- 记为 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$

- 性质

- 关于 $x=\mu$ 对称

- $$f_{max}=f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

- $$limf(x)=0$$

- 参数的性质

- 改变 $\mu$，$f(x)$ 只沿 $x$ 轴评议

- $\sigma$ 越大，$f(x)$ 越矮胖，$\sigma$ 称为尺度参数

- 实例：身高，体重，测量误差，多个随机变量的和

- 标准正态分布

- $$Z\sim N(0,1)$$

- $$\phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$$

- $$\Phi(z)=\int_{-\infty}^z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

- $\Phi(z)$ 有标准正态分布函数表

- 一般正态分布转为标准正态分布

- 当 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 时，$(x-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$

- $$F_x(a)=P(x\leq a)=P(\frac{x-\mu}{\sigma}\leq \frac{a-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})$$

- $3\sigma$ 准则

- 当 $x$ 落在 $(-3\sigma,3\sigma)$ 的概率为 $99.73\%$

## 第15讲 随机变量函数的分布

- 已知 $X$ 的概率分布，已知 $Y=g(x)$，求 $Y$ 的概率分布

- 先给出 $Y$ 的可能分布，再利用等价事件来给出概率分布

- 离散型随机变量，直接利用分布律求解即可

- 连续型随机变量，先利用分布函数找到等价事件，再利用概率密度函数即可

- 定理

- 若 $Y=g(x)$，$g'(x)>0$ 或 $g'(x)<0$

- $$f_Y(y)=f_x(h(y))\cdot |h'(y)|\ \alpha