前情概要

我们先来回顾上一篇谈到的“风险分摊”，我们通过调整收益变化的概率分布，使其波动范围逐步向中间“靠拢”，来达到降低风险的目的（如下图所示，想要了解具体内容的小伙伴，点此跳转至上一篇文章）。事实上，这种“向中靠拢”的实现，我们也称为方差最小化（或者标准差最小化）。

现代投资组合理论

现代投资组合理论(Modern Portfoilio Theory) 的核心思想，正是以“最小化收益率变化方差，并最大化期望收益”为目标来配置资产，也被叫做均值-方差 (Mean-Variance) 分析，是金融领域的重要基础理论。

我们“设计”了一个投资组合，假设它由这两只股票组成，且这两只股票的收益率服从正态分布（均值为0），我们通过程序模拟来模拟一下：

可以看到，蓝绿两线代表“股票”的收益率变化。接下来，我们再定义两个函数：

1、权重函数：用于为2只股票分配随机权重。

2、投资组合配置函数：调用权重函数生成不同的投资组合，并计算这些组合下的期望收益和方差：

至此，数据已经准备完毕。我们从中随机挑选出500个投资组合（注意，组成投资组合的这两只股票，本身的平均收益率是可以计算得到的固定值，在合成投资组合时，由于配置的权重不同，引起了投资组合的收益率以及方差的不同）。

现在让我们通过图形化来观察一下投资组合有哪些特性。为了更直观地分析，我们对效用-收益坐标轴进行变换：横轴为收益率的标准差，纵轴为期望收益率。

通过可视化之后，你将观察到它们形成了特征像“子弹”那样的抛物线，位于线上的每一个蓝色点，都代表了不同权重配比下的一个投资组合。我们把抛物线上的半部分称作有效边界。对于拥有相同风险（方差）的两个点，投资者会追求更高的期望收益率。

实际上，随着构成投资组合的股票数量不断增加，子弹区域会被逐渐填充满，下图是有4只股票组合按不同权重组成的投资组合特征图形。

此时有效边界仍然有效，因为在其他位置的所有点，都能在有效边界找到一个风险相同，确有更高收益的对应点。

关于如求解有效边界，涉及到向量计算、拉格朗日乘子与二次规划问题。幸运的是，Python的第三方库已经包含了现成的方法可供调用。我们下面将略作简单说明。

首先根据已知条件，我们有了（或者我们可以通过简单计算得到）以下数据：

1、股票均价向量 P：（p1,p2 ,...,pn），记录着n只股票指定交易日内的各自均价；

2、股票方差向量 S2：记录着n只股票各自收益率的离散程度

3、n * n 的协方差矩阵 C：记录着n只股票相互收益率变化趋势之间的相关程度。

另外，我们假设一个带求解的可变向量 w：（w1,w2 ,...,wn），记录着股票的配置比例（权重）。

由此我们得到：

投资组合的期望收益R = wT · P（按w对各股票期望收益加权平均）

投资组合的方差V = w · C ·wT，之所以不使用 wi2Si2 ，是因为简单的加权平方，只考虑了资产本身的离散程度，而遗漏了资产相互间的相关影响，因此我们引入C 这个 N x N 的协方差矩阵：

等价于：

它的对角线的值代表每个资产的自身的方差，而对角线以外的值则是代表资产之间的方差。

那么结合我们刚才说到的投资组合图形，我们需要找的，就是图中方差最小的那个点，也即最左侧的那一点，也就是使投资组合方差 w · C · wT 最小化。

这里我假设各位都已经把那些大学里艰涩难懂的线性代数，微积分等数学知识以往的差不多了，因此并不做具体推导，后续我可能会把具体推导过程挂在网盘上供有兴趣的同学下载。在这里不做展开。

代码实现

我们可以利用Cvxopt库来求解得到最左侧的红点所对应的权重分配，具体代码如下：

通过该方法，我们得到了最小方差的权重分配参数 w 向量：

在下一章中，我们将会展示如何在量化交易回测中应用上述方法。本篇首发于微信公众号“数据夕拾”，赶快搜索一下关注吧。