平行线的判定与性质

平行线与相交线貌似我们小学的时候就学过，那么为什么初中又要学一遍呢？初中有一个非常重要的思维，就是抽象的思维，遇到更大的年龄，我们就很多时候都要脱离实际情景，用我们的大脑去想象，并且如果在初中重新学一遍平行线与相交线的话，我们不只是学习他们的位置关系，我们还要学会如何去证明两条直线平行。

我们都说点动成线，线动成面，面动成体，那么什么才是平行线的定义呢？收到，平行线一定就是线之间的位置关系，虽然点与线，线与面，点与点，线与线，面与面，体与体，面与点，点与体，体与面，体与线他们都有不同的位置关系但是我们主要聚焦线与线之间的关系，但是平行线我们还需要有一个特殊的限制，那么就是他们必须在同一平面内，如果不在同一面内，在不同的维度上，这样子讨论就没有太大的意义了，我们小学对于平行线的定义，可能就是在同一面内永不相交的两条直线，互为平行线，相交线呢，就是在同一平面内，两条线有公共点，我们也可以依照这样子的定义去画图，现在我们又学习了一些关于平行与相交，一些其他的东西。请阅读下文。

到了初中，我们该如何定义两条直线是相交直线呢？我们先用文字语言来表示一下，L1与l2相交于a点，但是相交的符号语言并没有规定，所以我们也可以这样子念，下图就是图形语言了。

相交图形语言

那么我们如何定义两条直线是平行直线呢？我们可以基于相交线的定义来定义平行直线，平行直线，也就是在同一平面内，没有公共点的两条直线，符号语言，也就是∥，图形语言如下图。

平行图形语言

那么在相交直线当中，有哪些比较特殊的位置关系需要命名呢？那个情况就是两条直线在同一平面内相交，并且形成了四个角，其中有一个角是90度，其实如果一个角是90度的话，那么四个角其实都是90度，在这个情况当中，有一个点比较特殊，也就是相交成直线的那个点，我们把这个点称之为垂足，如果我们要用文字语言表示，L1垂直l2于点o。也是有一个专门的符号的，┸ 。

当然也有一些特殊的角度，就比如下面我画的这幅图中角一与角二。这两个角的角度好像是相等的，但是我们需要通过严格的逻辑推理证明，才可以下这个结论，那么我们该如何去证明呢？

图一

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(以下是证明过程)

已知:如图，直线L1，L2交于点a。

求证:∠1＝∠2

证明：∵∠2＋∠4=180度(平角定义)

∠1＋∠4=180度(平角定义)

∴180度减去角四等于角三(等式基本性质)

180度减去角四等于角一(等式基本性质)

∴∠1＝∠2(等量代换)

所以现在我们也就得到了一个结论，在一个同面内相交的两条直线，对顶角相等。我们也可以根据这个性质来判断两条直线相交。我们后来也发现了另外两种不同的关系，当两个角相加起来等于90度的时候，那么这两个角互为互余角，当两个角加起来等于180度的时候，那么这两个角互为互补角，如下图。

图二

现在来看角一与角二就互为互余角，互补角与他一样，只不过相加起来是180度。

那么过一点可以作多少条直线与已知直线垂直？同一平面内只能做一条与已知直线垂直，如下图。

图三

已知直线l和直线外一点a，我们现在过a点作直线ao，垂直于l，垂足为o，那么我们该如何定义点到直线的距离呢？其实锤线段ao的长度就是点A到直线l的距离，我们平时可能经常说两点之间线段最短，那么一个点到一条线，就是垂线段最短。

接下来我们就开始探究平行线。

平行线的画法

下面三种画平行线的方法，你更认可哪一个呢？你会发现，如果我们实体操作一下，那么第一种方法一定是不行的，但是第二种，第三种都可以画出平行线。你们接下来我们要研究一个非常有意思的现象，那就是两条平行线被另一条直线所截，那么有哪些特殊的角呢？如下图所示。

组成的三线八角

这其实也就是我们经常所提到的三线八角，那么我们是否可以根据三线八角来判定两条线是否是平行线呢？

通过观察，我们发现在这八个角当中有几组角的角度是一样的，角一和角二舅一样，角三和角四也一样，角五等于角七，角六等于角八，我们也有把这一类的角称之为同位角，符号语言也就是

∵∠1＝∠2

∴a∥b

那我们来总结一下，当直线AB被直线c所截，如果同位角相等，那么两条线为平行关系，这也就是我们平行线判定定理一。

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我们接下来又发现了几组角度相等的角，那就是角六等于角七，角二等于角三，但是我们也需要用严格的逻辑推理证明，证明过程如下。

平行线判定定理二

我们把这样的角称之为内错角，所以现在我们得到了平行线判定定理二，我们用文字语言描述一下，也就是直线AB被直线c所截，如果内错角相等，那么两条线为平行关系，符号语言也就是:

∵∠2＝∠3

∴a∥b

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还有最后一种发现，就比如角二加角7=180度，我们也可以推理出来，推理过程如下图。

平行线判定定理三

这就是我们所说的同旁内角，用文字语言描述一下，就是直线AB被直线c所截，如果同旁内角互补，那么两条直线为平行关系，符号语言，也就是：

∵∠2＋∠7＝180

∴a∥b

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这也就是通过我们推理，然后证明出来的三种判定平行线的方法，但是平行线的判定只是我们去判定两条直线是否平行的方法，但是两条直线本身他们是否有一些性质呢？也就是说，我们现在已经知道两条直线平行了，那么我们可以得到哪些结论呢？

我们可以先用直尺和三角尺画两条平行线，A平行于b，然后画一条直线c与这两条平行线相交，然后可以利用量角器测量三条直线所形成的八个角的度数，你可以发现什么样的规律呢？

图四

我们观察一下下面的这幅图，最终我测量的结果是角一，角四，角五，角七，都是120度，角二，角三，角六，角八，都是80度，那么我们根据这幅图可以提出哪些猜想呢？我的猜想是两直线平行同位角相等，那么在这幅图中，也就是角一等于角五，角二等于角六，角四等于角七，角三等于角八，我们可以把这个发现称之为平行线性质定理一，虽然我们通常都这么叫，但是呢，他其实并不完全是一个定理，因为其实他是一个公理，是不证自明的，就像平行线判定定理一样，我们首先需要有一个公理，然后借此可以推出更多的定理。

我们现在可以借着这个定理去推出其他的定理，现在我还有一个猜想，那就是两直线平行内错角相等，比如角三等于角六，那么我们该如何的去证明呢？证明过程如下。

平行线性质定理二

所以我们也就得到了平行线性质定理二，我们把这样的角称之为内错角，所以两直线平行，内错角相等。

当然我还有其他的猜想，那就是角三加角五等于180度，那么我们该如何去证明呢？证明过程如下。

平行线性质定理三

所以现在我们也就得到了平行线性质定理三，我们把这样的角称之为同旁内角，所以两直线平行，同旁内角相加等于180度，也就是同旁内角互补。

所以这也就是平行的性质，那么我们现在也就清楚了，平行线的判定与性质，在以后的学习当中，我们会遇到各种不同的情况与情境，然后也会利用各种各样的关系，而去证明，你准备好迎接头脑风暴了吗？我们来看一道题吧！

我感觉这样子的几何题非常的有意思，并且这其中的乐趣就是你得到了大量的信息，结果却组合不起来，但是到了某个时候，你突然发现两条线或者几个角，可以行走某种非常特殊的关系，然后再可以利用你的已知条件，最终就可以求出某个角或者两线平行，也都是在运用平行线的性质与平行线的判定，虽然把题解出来非常的重要，并且解出来一道难题，非常的有成就感，但是我更享受这个解题的过程，尤其是那种刚开始没有丝毫头绪的题，需要你不断的去推理，大脑飞速的运转，我想这就是数学的魅力吧。