冒泡排序

冒泡排序

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动它应该在的位置，重复n次，就完成了n个数据的排序工作。
用一个例子，看下冒泡排序的整个过程。要对一组数据4，5，6，3，2，1，从小到大进行排序。第一次冒泡操作的详细过程如下：

可以看出，经过一次冒泡操作之后，6这个元素已经存储在正确的位置上。要想完成所有数据的排序，只要进行6次这样的冒泡操作就行了。

实际上，刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不需要再继续执行后面的冒泡操作。这里还有另外一个例子，这里面给6个元素排序，只需要4次冒泡操作就可以了。

冒泡排序算法的原理比较容易理解，代码实现如下：

@interface DMSortDemo : NSObject

@end

@implementation DMSortDemo

- (void)demo 
{
    {
        NSMutableArray *dataArray = [[NSMutableArray alloc] init];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:4]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:5]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:6]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:3]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:2]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:1]];
        [self bubblePort:dataArray];
    }
    {
        NSMutableArray *dataArray = [[NSMutableArray alloc] init];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:3]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:5]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:4]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:1]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:2]];
        [dataArray addObject:[NSNumber numberWithInteger:6]];
        [self bubblePort:dataArray];
    }
}

- (void)bubblePort:(NSMutableArray *)array
{
    NSLog(@"冒泡排序前数据：%@", array);
    NSInteger count = [array count];
    for (NSInteger i = 0; i < count; i++) {
        // 提前退出冒泡排序的标志位
        BOOL bExchange = NO;
        for (NSInteger j = 0; j < count - i - 1; j++) {
            NSNumber *firstNum = [array objectAtIndex:j];
            NSNumber *secondNum = [array objectAtIndex:j + 1];
            if ([firstNum integerValue] > [secondNum integerValue]) {
                // 交换
                [array replaceObjectAtIndex:j withObject:secondNum];
                [array replaceObjectAtIndex:j + 1 withObject:firstNum];
                // 表示有数据交互
                bExchange = YES;
            }
        }
        if (bExchange == NO) {
            // 没有数据交互，提前退出
            break;
        }
    }
    NSLog(@"冒泡排序后数据：%@", array);
}

@end

第一，冒泡排序是原地排序算法吗？

冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为O(1),是一个原地排序算法。

第二，冒泡排序是稳定的排序算法吗？

在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序，所以冒泡排序是稳定的排序算法。

第三，冒泡排序的时间复杂度是多少？

最好情况下，要排序的数据已经是有序的了，只需要进行一次冒泡操作，就可以结束了，所以最好情况时间复杂度是O(n)。而最坏的情况是，要排序的数据刚好是倒序排列的，需要进行n次冒泡操作，所以最坏情况时间复杂度为O(n*n)。

最好、最坏情况下的时间复杂度很容易分析，那平均情况下的时间复杂度是多少呢？
对于包含n个数据的数组，这n个数据就有n!中排列方式。不同的排列方式，冒泡排序执行的时间肯定是不同的。比如前面举的例子，其中一个要进行6次冒泡，而另一个只需要4次。如果用概率论方法定量分析平均时间复杂度，涉及的数学推理和计算就会很复杂。这里还有一种思路，通过有序度和逆序度这两个概念来进行分析。
有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是下面这样。

有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j。

对于一个倒序排列的数组，比如6，5，4，3，2，1，有序度是0；对于一个完全有序的数组，比如1，2，3，4，5，6，有序度就是n*(n-1)/2，也就是15。把这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度。
逆序度的定义正好跟有序度相反（默认从小到大为有序）。

逆序元素对：a[i] > a[j], 如果i < j。

关于这三个概念，可以得到一个公式：逆序度 = 满有序度 - 有序度。排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，就说明排序完成了。
还是拿前面举的那个冒泡排序的例子来说明。要排序的数组的初始状态是4，5，6，3，2，1，其中，有序元素对有（4，5）、（4，6）、（5，6），所以有序度是3。n = 6，所以排序完成之后终态的满有序度为n * (n - 1) / 2 = 15。

冒泡排序包含两个操作原子，比较和交换。每交换一次，有序度就加1.不管算法怎么改进，交换次数总是确定的，即为逆序度，也就是n * (n - 1) / 2 - 初始有序度。此例中就是15 - 3 = 12，要进行12此交换操作。
对于包含n个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏情况下，初始状态的有序度是0，所以要进行n * (n-1)/2次交换。最好情况下，初始状态的有序度是n * (n-1)/2,就不需要进行交换。可以取个中间值n * (n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。
换句话说，平均情况下，需要n * (n-1)/4次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而复杂度的上限是O(n * n)，所以平均情况下的时间复杂度就是O(n * n)。