期望与方差之三：数据线性变换后的方差

方差(Variance)是描述一组数据离散程度的一个度量，数据越是离散的，方差越大，反之越小。方差一定是正数。方差经常用或Var(X)表示（注意用Var()表示的话，X需要大写，表一个数据总体）：

与总体的期望值类似，在实际研究中，我们不单要知道原始数据的方差，还需要知道原始数据经过某种线性变换后的方差。因此，我们需要知道下面几个变换的结果是什么：

1. 

2. 

3. 

其中，k和c为任意实数。

与数据线性变换后的期望值的几个证明类似，下面的证明尽量使用“加权平均”的式子进行证明，避免使用求和符号（Sigma notation），以区别于许多教科书直接用进行证明，方便初学者理解。

关于第一个方差变换，因为每个数据都变成原来的k倍，那么期望值（均值）也变成原来的k倍，因为：

于是 

关于第二个方差变换，我们先要了解，数据总体增加常数c之后，期望值出现怎样的变化。根据上一篇文章，有：

于是当所有数值都增加c后，方差有：

结合上面两个结论，并结合数据线性变换后的期望值：

第三个方差有:

综上可得：

1. 

2. 

3.