在计算机中，由于机器只能识别二进制数，因此，键盘上所有数字、字母和符号也必须事先为它们进行二进制编码，以便机器对它们加以识别、存储、处理和传送。
下面我们来认识下计算机中的各种编码，我打算采用四个小节的方式，分别来介绍 ASCII码、BCD码、汉字的编码、检验码编码和解码 。
一、ASCII码
ASCII码（美国信息交换标准码）是计算机键盘上输入字符的二进制编码。
通常，ASCII码由7位二进制数码构成，共可为128个字符编码，这128个字符共分为两类：
- 图形字符，共
96个- 十进制数符
10个 - 大小写英文字母
52个 - 其他字符
34个
- 十进制数符
- 控制字符，共
32个- 回车符
- 换行符
- 退格符
- 设备控制符
- 信息分隔符
- 其他
字符0-9所对应的ASCII码是在其数字的基础上加30H，比如字符9对应的ASCII码为30H + 09H = 39H。
字符A对应的ASCII码，是在其对应的十六进制数的基础上加37H，A在十六进制里面代表数字10，则有37H + 0AH = 41H，由于字符A~Z的ASCII码是顺序排列的，所有任意一个大写字母的ASCII码都能通过字符A的ASCII码计算出来，比如字符Z的ASCII码比字符A的ASCII码大25（19H），所以，字符Z所对应的ASCII码为41H + 19H = 5AH。
小写的字母所对应的ASCII码比其对应的大写字母的ASCII码大32（20H），所以小写字母a所对应的ASCII码为41H + 20H = 61H，由于小写字母a~z所对应的ASCII码也是顺序排列的，所以任意一个小写字母的ASCII码也可以参照字符a的ASCII码计算出来。
在8位微型计算机中，信息通常是按字节存储和传送的，一个字节有8位。ASCII码有7位，作为一个字节还多出一位，多出的这一位是最高位，常常用作奇偶校验，也称为奇偶校验位。奇偶校验位可以用来校验信息传送过程中是否有错。
二、BCD码
BCD码是十进制数的二进制编码。
计算机对十进制数的处理过程：键盘上输入的十进制数字先被替换成一个个的ASCII码送入计算机，然后通过程序替换成BCD码，并对BCD码直接进行运算（也可以先把BCD码替换成二进制码进行运算，并把运算结果再变为BCD码），最后把BCD码形式的输出结果变换成ASCII码才能在屏幕上加以显示。
BCD码是一种具有十进制权的二进制编码。它的种类较多，常用的有8421码、2421码、余3码和格雷码。
以8421码为例：
8421码是BCD码的一种，因组成它的4位二进制数码的权为8、4、2、1而得名。
8421码是一种采用4位二进制数来代表十进制数码的代码系统，在这个代码系统中，10组4位二进制数分别代表了0~9中的10个数字符号，如下表所示：
表2.1 8421 BCD编码表
| 十进制数 | 8421码 |
|---|---|
| 0 | 0000B |
| 1 | 0001B |
| 2 | 0010B |
| 3 | 0011B |
| 4 | 0100B |
| 5 | 0101B |
| 6 | 0110B |
| 7 | 0111B |
| 8 | 1000B |
| 9 | 1001B |
| 10 | 00010000B |
| 11 | 00010001B |
| 12 | 00010010B |
| 13 | 00010011B |
| 14 | 00010100B |
| 15 | 00010101B |
4位二进制数字共有16种组合，其中0000B ~ 1001B为8421的基本代码系统，1010B ~ 1111B未被使用，称为非法码或冗余码。
10以上的所有十进制数至少需要2位8421码字（即8位二进制数数字）来表示，而且不应出现非法码，否则就不是真正的BCD数。
1. BCD加法运算
BCD加法是指两个BCD数按“逢十进一”原则进行相加，其和也是一个BCD数。
在进行BCD加法过程中，计算机对二进制加法结果进行修正的原则是：
- 若和的低
4位大于9或低4位向高4位发生了进位，则低4位加6修正； - 若高
4位大于9或高4位的最高位发生进位，则高4位加6修正。
举例说明：48 + 69，则BCD的加法过程为：
BCD加法过程
2. BCD减法运算
与BCD加法类似，BCD减法时也要修正。
在BCD减法过程中，若本位被减数大于减数（即低4位二进制数的最高位无借位），则减法是正确的；若本位被减数小于减数，则减法时就需要借位，由于BCD运算规则是借1当作10，二进制在两个BCD码间的运算规则是借1当作16，而机器是按二进制规则运算的，故必须进行减6修正。
在BCD减法过程中，计算机对二进制运算结果修正的原则：
- 若低
4位大于9或低4位向高4位有借位，则低4位减6修正； - 若高
4位大于9或高4位最高位有错位，则高4位减6修正。
举例说明：53 - 27，则BCD的减法过程为：
BCD减法过程
所以，53 - 27 = 00100110B。
note： 在计算机中，两个数的减法被转换成被减数的补码加上减数相反数的补码来完成，也就是说在计算机中不存在减法电路。
三、汉字的编码
在计算机中，每个汉字都是一个图形，因此，计算机若要对汉字进行处理，就必须对所有汉字进行二进制编码，建立一个庞大的汉字库，以便计算机进行查找。
小知识： 历史上使用过的汉字约有60000多个，常用的汉字约有6000多个，其中，使用频度达到90%的汉字约有2400个，其余汉字的使用频度只占10%。
1. 国标码（GB2312）
国标码是《信息交换用汉字编码字符集的基本集》的简称，是我国国家标准总局于1981年颁布的国家标准，编号为GB2312-80。
在国标码中，共收集汉字6763个，分为两级：
- 第一级收集汉字
3755个，按拼音排序； - 第二级收集汉字
3008个，按部首排序。
还包括了一般字符201个（间隔符、标点符号、运算符号、单位符号和制表符等）、序号60个、数字22个、拉丁字母66个、汉语拼音符号26个、汉语注音字母37等。因此，连同汉字一共是7445个图形字符。
为了给7445个图形字符编码，国标码采用14位二进制来给这些图形字符编码。14位二进制中的高7位占一个字节（最高位不用），称为第一字节；低7位占另一个字节（最高位不用），称为第二字节。
国标码中的汉字和字符分为字符区和汉字区。
-
21H ~ 2FH（第一字节）和21H ~ 7EH（第二字节）为字符区，用于存放非汉字图形字符； -
30H ~ 7EH（第一字节）和21H ~ 7EH（第二字节）为汉字区。
因此，国标码采用4位十六进制数来表示一个汉字。例如，“啊”的国标码为3021H（30H为第一字节，21H为第二字节）。
2. 区位码及汉字机内码
（1）区位码
区位码与国标码的区别不大，它们共用一张编码表。国标码用4位十六进制数来表示一个汉字，区位码是用4位十进制区号和位号来表示一个汉字。
（2）汉字机内码
由于国标码每个字节的最高位都是0，与国际通用的标准ASCII码无法区分，因此，我国将每个汉字所对应的国标码的两个字节的最高位分别设定为1，作为该字的机内码。
四、检验码编码和解码
在计算机中，信息存入磁盘、磁带或其他存储器中常常会由于某种干扰而发生错误，信息在传输过程中也会因为传输线路上的各种干扰而使接收端接收到的数据和发送端发送的数据不同。为了确保计算机可靠工作，人们希望计算机能对从存储器中读取的数据或从接收端接收到的数据自动做出判断，并加以纠错。由此，引出了计算机对校验码的编码和解码问题。
校验码编码发生在信息发送之前（或存储）之前，校验码解码则在信息被接收（或读出）后进行。也就是说：欲发送信息应首先按照某种约定规律编码成校验码，使得这些有用信息加载在校验码上进行传送；接收端对接收到的校验码按约定规律的逆规律进行解码和还原，并在解码过程中去发现和纠正因传输过程中的干扰所引起的错误码位。
1. 奇偶校验码编码
奇偶校验码编码和解码又称为奇偶校验，是一种只有一位冗余位的校验码编码方法，常用于主存校验和信息传送。
奇偶校验分为奇校验和偶校验两种：
- 奇校验的约定编码规律：要求编码后的校验码中
1的个数（包括有效信息位和奇校验位）为奇数； - 偶校验的编码规律：要求编码后的校验码中
1的个数（包括有效信息位和偶校验位）为偶数。
一个8位奇偶校验码，有效信息位通常位于奇偶校验码中的低7位，一位奇偶校验位处于校验码中的最高位。
对于奇偶校验码来说，需要知道以下几点：
- 奇偶校验位状态常由发送端的奇偶校验电路自动根据发送字节低
7位中“1”的个数来确定。 - 奇偶检验电路通常采用异或电路实现，如果采用偶检验，发送端将所有信息位经过异或后所得的结果就是偶校验位；若采用奇校验，所有信息位异或后取反就是奇校验位。
- 接收端将接收到的全部信息（包括校验信息位）进行异或运算，若采用的是偶校验，异或运算的结果为
0，则认为接收到的信息正确；若采用奇校验，全部信息位异或后结果为1，则认为传输正确，否则传输错误。 - 对于采用奇偶校验的信息传输线路，奇偶校验位的状态取决于其余
7位信息中“1”的奇偶性，对于偶校验，若其他7位中“1”的个数为偶数，则奇偶校验电路自动在校验位上补0；若“1”的个数为奇数，则校验位上为1，以保证所传信息字节中“1”的个数为偶数。
例如，字符C的ASCII码为01000011B，采用偶校验，校验位形成过程为：
校验位
= D₆ ⊕ D₅ ⊕ D₄ ⊕ D₃ ⊕ D₂ ⊕ D₁ ⊕ D₀
= 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1
= 1
校验位占D₇位，最后形成含有偶检验位的信息编码为11000011。
这样，接收端奇偶校验电路只要判断每个字节中是否有偶数个“1”（包括奇偶校验位）就可以知道信息在传输中是否出错。
奇偶校验的缺点：
- 无法检验每个字节中同时发生偶数个错码的通信错误；
- 当检验出错误时，无法确定到底是哪一位出错。
2. 海明码编码
海明码是一种既能发现错误，又能纠正错误的校验码。
海明码的码位有（n+k）位，n为有效信息的位数，k为奇偶校验位位数。k个奇偶校验位有2^k种组合，除采用一种组合指示信息在传送或读出过程中有无错误外，尚有（2^k - 1）种组合可以用来指示出错的码位。因此，若要能指示海明码中任意一位是否有错，则校验码的位数k必须满足如下关系：2^k >= n+k+1，由此，可以计算出n与k的关系如下表所示：
表4.2.1 有效信息位与所需校验位的关系
| k（最小） | n |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 3 | 2 ~ 4 |
| 4 | 5 ~ 11 |
| 5 | 12 ~ 26 |
| 6 | 27 ~ 57 |
| 7 | 58 ~ 120 |
在确定了n与k的值后，还要进一步确定哪些位为有效信息位及哪些位作为奇偶校验位。
海明码规定：位号恰好等于2的权值的那些位（即：第1（ 2^0 ） 位、第2（ 2^1 ）位、第4（ 2^2 ）位、第8（ 2^3 ）位）均可用作奇偶校验位，并命名为P₀，P₁，P₂，P₃，...，余下各位则是有效信息位。
接下来，通过一个例子来说明对ASCII码进行海明码编码和解码的原理。
在对海明码的编码、解码原理介绍前，先对海明码的结构形式简单叙述下。
（1）海明码的结构形式
我们知道ASCII码有7位有效信息位（n = 7），由上表可知，k = 4，故海明码的码长为(n + k) = 11位。根据海明码对奇偶校验位位号的上述规定，第1、2、4、8位应为奇偶校验位，其余各位为有效信息位。其分配关系如下：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P₀ | P₁ | D₆ | P₂ | D₅ | D₄ | P₃ | D₃ | D₂ | D₁ | D₀ |
note：其中，P₀、P₁、P₂、P₃为奇偶校验位；D₆、D₅、D₄、D₃、D₂、D₁、D₀为有效数据位；最上面一排为海明码的位号。
在海明码中，奇偶校验位P₀、P₁、P₂、P₃（海明码位号为1、2、4、8）负责对各有效信息位的校验。
检验位和被校验的信息位之间的关系为：海明码的位号可看作是2^i累加（i从0开始），例如信息位D₆的海明码位号为3 = (2^0 + 2^1)，信息位D₂的海明码位号为9 = (2^0 + 2^3)。由此可以看成，如果信息位的海明码位号对应的二进制累加求和中含有2^i，则该位信息位就被对应的Pi校验，所以，海明码位号为3的D₆信息位应该被P₀和P₁位校验；海明码码号为9的D₂信息位应被P₀和P₃所校验。
按此关系可推出：
-
P₀负责对第3、5、7、9、11位的校验； -
P₁负责对第3、6、7、10、11位的校验； -
P₂负责对第5、6、7位的校验； -
P₃负责对第9、10、11位的校验。
转化成表，展示如下：
表4.2.2 奇偶校验位表
| 奇偶校验位 | 被校验位 |
|---|---|
| P₀(1) | 3，5，7，9，11 |
| P₁(2) | 3，6，7，10，11 |
| P₂(4) | 5，6，7 |
| P₃(8) | 9，10，11 |
（2）海明码的编码原理
海明码编码过程在发送端一侧进行，其主要任务是根据有效信息位确定P₀、P₁、P₂、P₃的值，并填入相应海明码的码位上。
以字符A的ASCII码（41H（1000001B））为例，填入海明码的相应位号上变为：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P₀ | P₁ | 1 | P₂ | 0 | 0 | 0 | P₃ | 0 | 0 | 1 |
确定奇偶校验位P₀、P₁、P₂、P₃的值必须按表4.2.2 奇偶校验位表进行。
编码方法：按偶校验或奇校验规则统计相应被校海明码位号中“1”的个数。对于偶校验编码的方法是：若被校位号中“1”的个数为奇数，则相应奇偶校验位为“1”；若被校验位号中“1”的个数为偶数，则相应偶校验位为“0”。
（3）海明码的纠错
海明码的纠错是在海明码解码过程中完成的，纠错很简单，只要把错位取反就行了。而问题的关键是要弄清海明码中究竟错在哪一位上。
海明码的出错指示码E₃、E₂、E₁、E₀又称为指误字。指误字不仅可以指出数据在读出或传送过程中有无错误，而且可以指示究竟错在哪一位上。
例如，若E₃E₂E₁E₀ = 0000B，则表明数据在读出或传送过程中没有发生错误；若E₃E₂E₁E₀ = 0001B，则表明海明码的第1位（奇偶校验位P₀）有错；若E₃E₂E₁E₀ = 0011B，则表明海明码的第3位有错。
因此，海明码解码的主要问题可以归结为如何求取出错标志位E₃、E₂、E₁及E₀。
出错标志位的求取规则是按下表进行的。
表4.2.3 出错标志位和所检测的位号表
| 出错标志位 | 被检海明码的位号 |
|---|---|
| E₀ | 1,3,5,7,9,11 |
| E₁ | 2,3,6,7,10,11 |
| E₂ | 4,5,6,7 |
| E₃ | 8,9,10,11 |
偶校验解码的方法是，若被检测所有海明码位号中“1”的个数为奇数，则相应出错标志位的值为1；若被检测所有海明码位号中1的个数为偶数，则相应出错标志位的值为0。
例如：若接收端接收到的字符A的海明码中第11位错成0，变成如下形式：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
则有：
（1）（3）（5）（7）（9）（11）
E₀ = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1
--------------------------------------------------
（2）（3）（6）（7）（10）（11）
E₁ = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1
--------------------------------------------------
（4）（5）（6）（7）
E₂ = 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0
--------------------------------------------------
（8）（9）（10）（11）
E₃ = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1
故，指误字为E₃E₂E₁E₀ = 1011B，指示第11位出错，将它取反，则错误码得到纠正。
3. 循环冗余校验码
循环冗余校验码（CRC码）可以发现并纠正信息存储或传输过程中连续出现的多位错误，这在辅助存储器和计算机通信方面得到了广泛的应用。
CRC码是一种基于模2运算（即以按位模2相加为基础的四则运算，运算时不考虑进位和借位）建立编码规律的校验码，可以通过模2运算来建立有效信息位和校验位之间的约定关系。
这种约定关系为：假设n是有效数据信息位位数，r是校验位位数。则n位有效信息位与r位校验位所拼接的数（k = n + r位长），能被某一约定的数除尽。
（1）CRC的编码方法
待编码的有效信息以多项式M(x)表示，将M(x)左移r位得到多项式M(x) × x^r，使低r位二进制位全为零，以便与随后得到的r位校验位相拼接。
使用多项式M(x) × x^r除以生成多项式G(x)，求得的余数即为校验位。为了得到r位余数（校验位），G(x)必须是r + 1位的。
将r位余数R(x)与左移r位的M(x) × x^r相加，就得到n + r位的CRC码。
（2）模2运算
模2运算：不考虑借位和进位的运算。
- 模
2加减
可用异或门实习，即：
0 + 0 = 0;
0 + 1 = 1;
1 + 0 = 1;
1 + 1 = 0;
0 - 0 = 0;
0 - 1 = 1;
1 - 0 = 1;
1 - 1 = 0;
- 模
2乘法
用模2加求部分积之和。 - 模
2除法
用模2减求部分余数，每上一位商，部分余数要减少一位，上商规则是：余数最高位为1，就商1，否则商0。当部分余数的位数小于除数时，该余数为最后余数。
举例说明：设四位有效信息位是1100，选用生成多项式G(x) = 1011，求有效信息位1100的CRC编码。
（1）将有效信息位1100表示为多项式M(x)
M(x) = x³ + x² = 1100
（2）M(x)左移3位，得M(x) × x³
M(x) × x³ = x⁶ + x⁵ = 1100000
（3）用r + 1位的生成多项式G(x)，对M(x) × x³作模2除
M(x) × x³ 1100000 010
----------- = --------------- = 1110 + --------------
G(x) 1011 1011
（4）M(x) × x³与r位余数R(x)做模2加，即可求得它的CRC码
M(x) × x³ + R(x) = 1100000 + 010 = 1100010
（3）CRC的译码及纠错
CRC码传输到目标部件时，用约定的多项式G(x)对收到的CRC码进行“模2除”，若余数为0，则表明该CRC校验码正确，否则表明有错，不同的出错位，其余数是不同的，由余数指出是哪一位出了错然后加以纠正。
表4.3.1 G(x) = 1011时，CRC码出错模式表
| 序号 | N₇ N₆ N₅ N₄ N₃ N₂ N₁ | 余数 | 出错位 |
|---|---|---|---|
| 正确 | 1 1 0 0 0 1 0 | 0 0 0 | 无 |
| 出错 | 1 1 0 0 0 1 1 | 0 0 1 | 1 |
| 出错 | 1 1 0 0 0 0 0 | 0 1 0 | 2 |
| 出错 | 1 1 0 0 1 1 0 | 1 0 0 | 3 |
| 出错 | 1 1 0 1 0 1 0 | 0 1 1 | 4 |
| 出错 | 1 1 1 0 0 1 0 | 1 1 0 | 5 |
| 出错 | 1 0 0 0 0 1 0 | 1 1 1 | 6 |
| 出错 | 0 1 0 0 0 1 0 | 1 0 1 | 7 |
由上表可知，若CRC码有一位出错，用G(x)作“模2除”运算，则得到一个不为零的余数，若对余数补零，继续作“模2除”运算，会得到一个结果：各次余数会按上表中的顺序循环。
例如，第一位N₁出错，余数将为1，补零后再除，得到余数为010，以后依次为100、011、……，反复循环。这就是循环码的由来，利用这个特性正好可以来纠错。
当余数不为零时，一边对余数补零继续作“模2除”运算，一边将被检测的CRC码循环左移。由上表可知，当出现余数为101时，出错位也移到了N₇位，可通过“异或门”将它们纠正后，再在下次移位时送回N₇，然后继续移位，直至移满一个循环，就得到一个纠正后的码字。
（4）关于生成多项式
不是任何一个（r + 1）位多项式都能作为生成多项式，从检错、纠错的要求来看，生成多项式应满足下列要求：
- 任何一位发生错误，都应使余数不为零；
- 不同位发生错误，都应使余数不同；
- 对余数补零，继续作“模2除”，应使余数循环。
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