实数

自然数少于实数

• 将实数01开区间弯成圆，01点未取，在最高点，然后从最高点向实数轴上所有位置连线，与圆弧的交点和实数轴的交点就完成等了一个对应，由此，弯成所有对应。

  
  (0,1)与实数对应

转换为正切值与实数对应

• 如此全体实数被映射到(0,1)

• 尝试将自然数与(0,1)一一对应

  
  尝试用自然数对应(0,1)
  变量取值定义

• 找出不存在于对应关系中的值

  
  中间量构造方式

不在对应关系中却在(0,1)中的值

最终说明某个在第N处的值与原处于第N处的值不一样，因此证明这个构造出的属于(0,1)的量却不存在于对应关系中，那么整数与实数势不同，且整数势小于实数势。
妙在那条修改规则，总能从现有数集元素中构造出不存在于原集合的数。

两类无穷势

两类无穷势

实际上还有比实数更大的势。

无穷值之间的比较

之前是无穷元素集合元素数量的比较

几个重要的辅助比较大小的函数
a的取值

求极限
二项式展开
选取分子变大，分母变小
整体趋向于0，极限为0

• 以下证明技巧在于将比值设计为3个区间，然后朝次方向进行证明。

  
  证明此不等式
  对k的选取

斯特林近似估算n阶乘的值

斯特林近似

级数

级数就是一堆值相加，这些值可能由函数生成，那么级数收敛性同时就能证明函数收敛或发散。

• 证明1/n发散。重点放在1/2这个值的获取。最后变成不断的1/2相加，因此越来越大，不会收敛。

  
  1/n发散

• 收敛会涉及到无穷小。

• 证明1/n^a收敛。重点在于将元素分组找到合适的表达式后，最后的放大，每一项的表达就表示为保留第一项以及项目个数。

  
  收敛
  每一项的表达处于收敛分界线左侧

• 收敛分界线

通过以上证明了1/n发散，但1/n^a收敛，这就是分界线。处于左侧收敛，右侧发散。

收敛分界线
提高分界线分辨率