10、P1 W2 U2.1 二进制数

视频：
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P1W2U2.1 - Binary Numbers

第一周主要讲解了 布尔数（二进制数） 跟 逻辑门 的关系。
这周主要讲解 十进制世界的表示和计算 与 布尔数（二进制）的关系。
这样就可以把现实世界的计算 用 逻辑门 来表达。

二进制数如何表示成我们熟悉的数字（十进制数字）

如下图
第一行：1位（bit）二进制数，只能表示 2 种可能。（0 或 1）
第二行：2位二进制数，可以表示 4 种可能。（00，01，10，11）
第三行：3位二进制数，8种可能
第四行：n位，2的N次方种可能

下图是二进制（Binary） 对应表示的 十进制（Decimal）

但是上图的对应关系是如何进行的呢？回顾一下熟悉的十进制

789（十进制）=7x10^2 + 8x10^1 + 9 x10^0 = 700 + 90 + 8 = 798（十进制）

10的零次方等于1 （10^0 = 1）

从上图可以总结出一个规律，任何进制转十进制的通用公式。

101（二进制） = 1x2^2 + 0x2^1 + 1x2^0 = 4 + 0 + 1 = 5（十进制）

非0数的零次方 = 1，2^0 =1

下图上部给出了 二进制 转 十进制 的 通用公式

另外二进制的位数的大小，也决定了它能表示的最大十进制数。
比如 3位二进制最大数是 111 就是十进制的 1+2+4 = 7。
也能推出一个二进制能表示的最大十进制数的公式：2的位数次方-1

能表示的最大十进制数：2^k - 1 (k = 二进制数的位数)

在计算机里，位数通常是固定的，比如8位。如下图

能表示多少个数：2^k (k = 二进制数的位数)

但事实情况，是计算机还会保留一位数用来表示数的正负。如下图
老师说课程只用正的那部分数（8位二进制的话就是 0 到 127）

于是剩下的7位能表示的最大数就变成127了

最后：十进制 转 二进制

例如 下图 87
注：2的平方数序列（...、256、128、64、32、16、8、4、2、1）

1. 找出离87最接近的2的平方数，64。
2. 找出剩下的23（87-64=23）最接近的2的平方数，16。
3. 依次类推：获得 64 + 16 + 4 + 2 + 1
4. 还是根据2的平方数序列。从右往左，如果有数字对应，就写1（64、16、4、2、1）。没有，就写0(32 和 8)

十进制 转 二进制

这节学习了 我们熟悉的 十进制 如何 表示和转换成 计算机世界的 二进制。

下节课学习 计算机世界的 二进制 如何 进行计算。