有心力问题（11）：有心力场散射问题

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-01-30 11:43 被阅读0次

在历史上，有心力问题通常被作为天文问题来研究。但就好像是波尔推出的氢原子模型一样，有心力问题的研究范围不单单局限于天体的运动。经典力学中另一类涉及到有心力问题的则是粒子在有心力场中的散射问题。

$\bullet$ 当涉及到原子尺度的问题时，由于存在量子效应，通过经典分析得到的结果通常都是不准确的。但在一些情况下，经典分析也不失为一种有效的近似。再加上经典理论和量子理论对粒子散射过程的描述大相径庭，所以我们即便使用经典语言来研究这一问题也是可行的。

$\bullet$ 对于只考虑一体的体系，散射问题主要研究力心对粒子束的散射。我们考虑的粒子束通常含有相同的质量与能量，不同粒子束间的特征主要由强度 $I$ （通量密度）来区别，它被定义为单位时间内通过了单位法面积的粒子个数。

$\bullet$ 当一个粒子靠近力心时，它将受到吸引力或排斥力，并在力的作用下偏离原来的速度方向。当它再次远离力心时，作用力会随距离减弱，于是粒子又慢慢恢复为直线运动。由于最终粒子射出后的方向相对于初始的入射方向存在偏斜，我们称这时的粒子受到了散射(scattered)。

$\bullet$ 一个给定方向的散射截面 $\sigma(\mathbf{\Omega})$ 被定义为：

$\sigma(\mathbf{\Omega})\;d\Omega \equiv \frac{dN}{I}$

其中 $dN$ 是单位时间内散射进入立体角的粒子个数， $I$ 是通量密度， $d\Omega$ 是 $\mathbf{\Omega}$ 方向的立体角元。

我们有时也将 $\sigma(\mathbf{\Omega})$ 称为微分散射截面(differential scattering cross-section)。

根据立体角的定义，立体角微分元与球坐标微分元的关系为：

$d\Omega = r^2 \sin\theta d\phi d\theta$

由于是单位球体， $r = 1$ ，所以

$d\Omega = \sin\theta d\phi d\theta$

因为有心力场关于入射方向对称，方位角始终为 $2\pi$ ：

$d\Omega = 2\pi\sin\Theta d\Theta$

其中 $\Theta$ 是球坐标中的天顶角，也被称为散射角(scattering angle)。

斥力场散射

$\bullet$ 对于任意粒子，轨道是恒定的，所以粒子散射的将完全取决于能量 $E$ 以及角动量 $l$ 。但由于我们不常使用角动量，而能量常常被作为实验已知量，所以我们习惯将能量与撞击参数(impact parameter) $s$ 一起用来表示角动量。撞击参数被定义为入射粒子的速度矢量与力心的垂直距离。

若入射粒子的速度为 $v_0$ ，角动量

$l = mv_0 s$

由于粒子位于无限远处， $E = T + V = \frac{1}{2}mv_0^2$

$\implies mv_0 = \sqrt{2mE}$

$\implies \boxed{l = s\sqrt{2mE}}$

一旦能量与撞击参数确定，粒子的散射角度就可以被唯一地确定。

考虑粒子从从 $s$ 到 $s + ds$ 的环状区域散射到从 $\Theta$ 到 $\Theta + d\Theta$ 的立体角内。

环状区域的面积为： $2\pi s|ds|$

入射粒子数为： $2\pi s|ds| I$

微分散射截面为： $\sigma(\mathbf{\Omega})d\Omega$

散射粒子数： $\sigma(\mathbf{\Omega})d\Omega I = 2\pi \sigma(\Theta)I\sin\Theta |d\Theta|$

使用绝对值符号主要考虑到微粒个数是非负的，而撞击参数和散射角的变化均可以为负。

由于在单位时间内入射和散射的粒子数目相等，

$2\pi s I|ds| = 2\pi \sigma(\Theta)I\sin\Theta|d\Theta|$

如果撞击参数是一个关于能量与散射角度的函数：

$s = s(\Theta,E)$ ，根据上面等式我们可以得到：

$\boxed{\sigma(\Theta) = \frac{s}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|}$

我们得到了在 $\Theta$ 方向上的微分截面的表达式。

$\bullet$ 散射角 $\Theta$ 关于撞击参数 $s$ 的函数则可由有心力问题（5）中极角关于半径的积分得到：

$\theta = \int_{r_0}^r\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{2mE}{l^2}} - \frac{2mV}{l^2} - \frac{1}{r^2}} + \theta_0$

考虑排斥力场，粒子的轨道关于近心点对称。如图所示，设近心点的距离为 $r_m$ ，

则有关系： $\Theta = \pi - 2\Psi$

若以力心的右端为零度极角，逆时针测量，那么当 $r = r_0 = \infty$ 时， $\theta_0 = \pi$ ；当 $r = r_m$ ， $\theta = \pi - \Psi$ 。于是积分变为

$\theta = \int_{\infty}^{r_m}\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{2mE}{l^2}} - \frac{2mV}{l^2} - \frac{1}{r^2}} + \pi$

又因为 $l = s\sqrt{2mE}$ ，进一步改写为

$\Psi = \int_{r_m}^{\infty}\frac{sdr}{r\sqrt{r^2\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2}}$

最后可以得到

$\boxed{\Theta(s) = \pi - 2\int_{r_m}^{\infty}\frac{sdr}{r\sqrt{r^2\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2}}}$

或者使用 $u \equiv \frac{1}{r}$ ，可将积分写为：

$\boxed{\Theta(s) = \pi -2\int_0^{u_m}\frac{sdu}{\sqrt{\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2u^2}}}$

由于这两个积分不存在解析解，在散射问题中，除非是直接利用数值分析的电脑程序，它们其实被用得很少。

$\bullet$ 历史上，散射角关于 $\Theta$ 撞击参数 $s$ 的解析表达式是在库伦场中的粒子排斥散射下推导的。

力场由一个具有电荷量 $Ze$ 的粒子产生，粒子束的粒子均具有电荷量 $Z^{\prime}e$ 。库仑力 $f = \frac{ZZ^{\prime}e^2}{r^2}$ ，它是一个平方反比排斥力，比例系数 $k = -ZZ^{\prime}e^2$

如果 $E \gt 0$ ，粒子的运动轨道是未封闭的双曲线，偏心率 $\begin{align*}\varepsilon &= \sqrt{1 + \left[\frac{2El^2}{m(ZZ^{\prime}e^2)^2}\right]}\\&= \sqrt{1 + \left(\frac{2sE}{ZZ^{\prime}e^2}\right)^2}\end{align*}$

将 $\theta^{\prime}$ 选为 $\pi$ ，近心点对应 $\theta = 0$ ，轨道方程

$\begin{align*}\frac{1}{r} &=\frac{mk}{l^2}\left(1 + \varepsilon\cos(\theta - \pi)\right)\\&= \frac{mZZ^{\prime}e}{l^2}(\varepsilon\cos\theta - 1)\end{align*}$

当粒子被散射至无穷远处， $r \rightarrow \infty$ ， $\theta \rightarrow \Psi$

$\lim_{r\rightarrow \infty} \cos\theta = \lim_{r\rightarrow \infty}\frac{l^2}{r\varepsilon m ZZ^{\prime}e^2} + \frac{1}{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon}$

由之前散射角与 $\mathbf{\Psi}$ 的关系可以得到：

$\Psi = \frac{1}{2}(\pi - \Theta)$

所以，当 $r\rightarrow \infty$

$\cos\Psi = \cos \frac{1}{2}(\pi - \Theta) = \sin\frac{\Theta}{2} = \frac{1}{\varepsilon}$

相应地，由于 $\Theta$ 是锐角，

$\cos\frac{\Theta}{2} = \sqrt{1 - \frac{1}{\varepsilon^2}}$

$\cot^2\frac{\Theta}{2} = \left(\sqrt{\frac{\varepsilon^2 - 1}{\varepsilon^2}} \cdot \varepsilon\right)^2 = \varepsilon^2 - 1$

将之前得到的偏心率表达式代入：

$\cot\frac{\Theta}{2} = \frac{2sE}{ZZ^{\prime}e^2}$

整理后有

$\boxed{s(\Theta,E) = \frac{ZZ^{\prime}e^2}{2E}\cot\frac{\Theta}{2}}$

我们得到了撞击参数关于散射角的解析表达式，这也是所谓的库伦散射公式(Coulomb scattering formula)。

$\bullet$ 从而可以得到在库伦平方反比斥力场下的微分散射截面：

$\begin{align*}\sigma(\Theta) &= \frac{s(\Theta,E)}{\sin\Theta}\left|\frac{ds(\Theta,E)}{d\Theta}\right|\\&= \frac{ZZ^{\prime}e^2}{2E}\frac{\cot\frac{\Theta}{2}}{\sin\Theta}\frac{ZZ^{\prime}e^2}{4E}\csc^2\frac{\Theta}{2}\end{align*}$

使用二倍角关系： $\frac{1}{\sin\Theta} = \frac{1}{2\sin\frac{\Theta}{2}\cos\frac{\Theta}{2}} = \frac{1}{2}\frac{\csc\frac{\Theta}{2}}{\cos\frac{\Theta}{2}}$

最后经整理：

$\boxed{\sigma(\Theta) = \frac{1}{4}\left(\frac{ZZ^{\prime}e^2}{2E}\right)^2\csc^4\frac{\Theta}{2}}$

这是著名的卢瑟福散射截面(Rutherford scattering cross-section)。最早由欧内斯特·卢瑟福(Ernest Rutherford)在研究原子核对 $\alpha$ 粒子的散射问题时推导。

$\bullet$ 在原子物理中，全散射截面(total scattering cross-section)具有如下定义：

$\sigma_T = \int_{4\pi}\sigma(\mathbf{\Omega})\;d\Omega = 2\pi \int_0^{\pi}\sigma(\Theta)\sin\Theta\;d\Theta$

对于库伦力场这样的平方反比力场，我们知道，它的作用范围是远距离的。场强随着距离增加而逐渐趋近零，但并不等于零。因此，对于那些撞击参数非常大的粒子，散射角度将会非常地小，但根据全散射截面的定义，截面必须包含粒子束中所有粒子的散射情况，所以只要撞击参数 $s$ 可以取无穷， $\sigma_T$ 自身也必须为无穷。其实，这并非库伦力场才具有的性质。在经典力学中，对于任何散射场，只要在所有距离强度皆不为零，散射截面都会是无限的。但如果散射场有断层，如果在某一距离以外为零，比如在原子内部电子层会存在屏蔽效应(shielding effect)，对应的散射截面则是有限的。

$\bullet$ 对于卢瑟福散射，撞击参数与散射角之间的关系与之前的分析很接近。我们有：

$s(\Theta,E) = \frac{ZZ^{\prime}e^2}{2E}\cot\frac{\Theta}{2}$

当撞击参数非常大时，粒子受场的影响很小，因此散射角度接近零。随着撞击参数慢慢地从无穷减小到零，散射角单调递增，并在 $s = 0$ 时取得最大 $\Theta = \pi$ ，粒子沿原来的入射角度被原封不动地散射了回去。

然而，对于其他非库伦力场的散射，微分截面的表达式

$\sigma(\Theta) = \frac{s}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|$

则需要被效应地修改。

比如，如果散射场与距离存在下图所示的关系：

散射角与撞击参数的变化关系则为：

可见，与之前的库伦散射场相同，对于 $s = 0$ 或 $s = \infty$ 的极限情况，散射角均为零。但由于散射角存在局部最大值，任何 $\Theta \lt \Theta_{m}$ 的情况，都将会存在两个不同的撞击参数 $s_i$ （ $i = 1,2$ ），每一个都将会对微分散射截面有贡献，所以我们需要将其修改为：

$\boxed{\sigma(\Theta) = \sum_i \frac{s_i}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|_{i}}$

$\bullet$ 在最大值 $\Theta = \Theta_m$ 处， $\left.\frac{d\Theta(s)}{ds}\right|_{\Theta = \Theta_m} = 0$ ，散射截面将变为无穷大，但对于任何大于 $\Theta_m$ 的角度，散射截面则是零。由于这种从无穷大突变为零的特征与几何光学中雨滴对阳光的散射非常相似，人们将发生在散射角最值处的散射称为彩虹散射(rainbow scattering)。

$\bullet$ 上面讨论的都仅仅只是纯排斥力下的散射，而如果散射还包含有吸引力，问题将会变得更加复杂。如图，

吸引力的作用将会对粒子朝力心拉，所以 $\Psi$ 将大于 $2\pi$ ，这样一来散射角 $\Theta = \pi - 2\Psi$ 将是一个负数。如果使用条件 $r_0 = \infty$ ， $\theta_0 = \pi$ ； $\theta = \pi - \Psi$ ， $r = r_m$ ，积分

$\Theta(s) = \pi - 2\int_{r_m}^{\infty}\frac{sdr}{r\sqrt{r^2\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2}}$

将大于 $2\pi$ ：入射的粒子将绕转力心数圈，最终才被散射出去。

$\bullet$ 下图是若干具有不同撞击参数的吸引排斥结合散射场，

对于撞击参数为 $s_1$ ，能量为 $E_1$ 的粒子，经过散射后绕着力心形成半径为 $r_1$ 的圆形轨道。根据伯特兰定理，该圆轨道是不稳定的。若不存在任何半径的微扰，当 $r = r_1$ 时，粒子将绕着力心一直旋转下去。如果能量 $E \gt E_1$ ，则不会出现任何形式的圆轨道。如果半径位于 $r_1$ 的附近，粒子将会在最值附近逗留很长一段时间。这时的角速度：

$\dot{\theta} = \frac{l}{mr_1^2} = \frac{s_1}{r_1^2}\sqrt{\frac{2E}{m}}$

由于不受最值的影响，粒子将会在这段逗留时间内绕着力心旋转若干倍 $2\pi$ 弧度，我们称这样的散射具有绕转(orbiting)或螺旋(spiraling)特性。

$\bullet$ 当撞击参数增加（角动量增加），有效势的峰值会逐渐变平。对于具有 $s_2$ 撞击参数的粒子，如果此时能量大于 $E_2$ ，粒子的轨道将不再封闭。对于高能量低撞击参数的情况，粒子受到则都是与卢瑟福散射类似的近距离的排斥散射。在实验室坐标系下，观测的粒子散射角度通常介于 $0$ 和 $\pi$ 之间。为了区分，我们定义偏斜角度(deflection angle) $\Phi$ ，为等式

$\Theta(s) = \pi - 2\int_{r_m}^{\infty}\frac{sdr}{r\sqrt{r^2\left(1 - \frac{V}{E}\right) - s^2}}$

右侧积分的结果，于是 $\Phi$ 与 $\Theta$ 的关系为：

$\Theta = \pm \Phi - 2m\pi$

其中 $m$ 是正整数。

正负号则是为了使得散射角 $\Theta$ 能够处于 $0$ 到 $\pi$ 之间而确定的。

$\bullet$ 下图着重分析了当粒子具有能量 $E_1$ 以及大于 $E_2$ （ $E_3$ ）时散射角与撞击参数的关系：

可见，当 $E = E_1$ 时， $s_1$ 处存在奇点，在不受微扰的情况下，粒子将在此处以圆轨道按顺时针方向永久绕转力心。当 $E \gt E_2$ 时，轨道不封闭，在 $\Theta = -\Phi^{\prime}$ 出现了局部最小值，任何更小的角度将导致散射截面完全消失，是所谓的彩虹散射。散射角在 $s_3$ 处时， $\Theta = 0$ ，根据

$\sigma(\Theta) = \frac{s}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|$

由于 $\sin\Theta = 0$ ，散射截面从前方向变成无穷。同理，只要

$s\left|\frac{ds}{d\Theta}\right|$

始终是有限的，当 $\Theta = \pi$ 时，散射截面也可从后方向变成无穷。

这种前方或后方的散射效应与气象光学中航行飞机投影在下方云层上的影子会被一层光圈包围的现象相似，所以人们称其为辉光散射(glory scattering)。