几何表示

点积的对偶性

互为镜像的两个向量计算如下

v变成了二倍并不会影响w投影的长度
同样v对w经行投影计算结构仍未相同

为什么点积计算与投影相关

• 多维空间之间的线性变换

  • 对于这种变换线性变换有更多繁琐的约束条件，这里我们先简单的理解。

  我们二维空间里的是一些等距离的点
  
  线性变换后i=1,j=-2

我们的向量[3.4]到一维上的表示就是3 * 1+（-2 * 4）

用变换的思想来看

我们把数轴放到二维空间里，你把他看作为输入二维向量而输出一个值的函数，由之前的等距离我们可知这种到数轴的降维是线性的。

我们找到变换后的i和j也就找到了这种变换的表示方式
怎么计算呢，对偶性！我们找到了数轴上的单位向量u^ 由于对偶性u^投影大小等同于j^的投影
所以任何向量在向它投影的时候进行的矩阵相乘==向量的点积运算

总结

• 从二维到一维变换我们需要二维空间的向量v[a;b]乘上对应的一行两列的矩阵进行空间变换。
• 通过对称性得到i^ j^ 在一维空间的投影[ux,uy],相乘的过程不过是aux+buy等于u在v上的投影乘上v 等于v.u的定义

• 如果u不是单位向量呢 我们就理解为 v投影到了u这条线上并扩大了|u|倍