szlab_jin#outlook.com Nov.1, 2017.
摘要：本文是对单个相机和两个电机模组的运动标定公式推导。
如果了解线性代数，能更好的理解本文。
一、结构背景
有两个独立轴坐标系模组，分别是 ：
默认二者在垂直Z方向上在同一平面。
其中，Sb的轴上安装了一个相机，Sa没有相机。
图：Mark点从Sb移至Sa
也就是说，整个过程的步聚是，产品mark点在Sb坐标系下时，工业相机对mark进行拍照视觉定位，要据此推导出mark点移至Sa坐标系后的坐标，以引导机械手动作。
二，推导过程
基本思想：
- 根据相机视觉定位结果的视觉坐标P(col, row)，以及Sb系下，相机拍照时的相机轴坐标B(X, Y)，推导出mark点在Sb系下的坐标表征量W.
这里，易知，处于实验室坐标不同位置的mark点，存在不同且唯一的轴坐标表征值W，该W值与相机拍照时的轴位置无关。 - 使用三个以上的上述mark点，它们实验室坐标位置不同。记录拍照结果Pi和拍照时轴坐标Bi后，将Marks用机构转移至Sa系。
- 使用相关测量手段，获得此时Marks在Sa系下的坐标A(Xi, Yi)。
- 利用求得的Wi与Ai，推导出Sb系与Sa系之间的仿射变换关系M。
- 以上便可建立从相机视觉坐标P到Sa系坐标A的关系了。
推导
- mark点在Sb系下的坐标表征量W，
其中，M' 是一个齐次矩阵，是P系到Sb系的变换，待定。
因为上式W值与相机拍照时的Sb轴位置无关，所以：
- 同时，针对任意的一个mark点，当相机拍照位置移动时，视觉像素坐标显然也变化了，它们间的值变化一定满足如下微分关系：
注意，这里是M'' (two primes)，而不是M' (single prime)。M''也是一个齐次矩阵，值待定。
上两式可推得：
- 对Sb坐标系做九点标定（如果您愿意，也可以做四点等），据Sb的拍照时的轴坐标Bi, 和相应的像素坐标Pi，可推导出如下仿射变换关系：
其中，M''' (three primes) 也是齐次矩阵，值通过九点标定确定.
- 对2.式所述的微分关系进行不定积分，有：
可以看出，M'''相当于M''作用于P后，再平移beta，即：
这里，T()是代表平移的齐次矩阵。
以及beta的解法：
- 综上，我们求得W：
- Sa与Sb之间关系，利用多个点对(大于等于3个) ，(Ai, Wi)，来求解， 可据此算出Sa与Sb间的仿射关系M:
- 最终式：
其中，A是最后所要求的Sa系的mark目的坐标，B是Sb系相机拍照mark时的实时XY轴坐标，P是相机拍照时所得的实时视觉定位像素坐标。
M''' 是Sb系的相机与轴的九点标定时的（Vision to Motion）的齐次仿射关系矩阵。
M 是 上文所述W到Sa系的齐次仿射关系矩阵。
Beta相当于，九点标定时，当mark位在相机视野相机P（0, 0）上时，拍照位的轴坐标。
三，总结
先做相机所在模组Sb的相机九点标定，由九个像素坐标和九个对应的Sb轴坐标，得到仿射矩阵M'''，令p0=(0, 0), 得到
Beta = M''' . p0，并存储以备用。
有了M'''和Beta，代入公式得到Sb系下的mark坐标表征向量W，多个位置不同的mark得到多个不同的W, 第i个W记为Wi。
使用适当的测量方式，得到Wi对应的Sa系下的坐标Ai，从而得到从W到A的仿射关系矩阵M。
至此，标定过程中的核心参数，M''', M, Beta 均得到了，代入公式，就能求得相机在任意位置B时，拍到的像素坐标为P，该点mark转移到Sa系下后，对应的坐标A了。
附言
该坐标系统不算复杂，我用这个作为例子，是为了展示说明，如何比较严谨的用数学来论证坐标转换关系，尽量避免感性的推导想象。这样可以防止迷失在坐标转换中各种正负号的暴力试错上。
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