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2.函数的周期性

2.函数的周期性

作者: 波波在敲代码 | 来源:发表于2019-05-31 11:19 被阅读0次
    1. 函数的周期性:

    f(x)T为周期:

    • f(x+t)=f(x)
    • f(x-t)=f(x)
    • 2T3T、...nT都是周期性的。

    若对于任意的x_1x_2时有:

    x_1-x_2=T时,f(x_1)=f(x_2)

    则$f(x)为周期性函数。

    1. 函数的反周期

    f(x)t为反周期

    • f(x+t)=-f(x)
    • f(x-t)=-f(x)
    • T = 2t

    若对于任意的x_1x_2有:

    x_1-x_2=t ,则f(x_1)=-f(x_2)

    则称f(x)以t为反周期。

    周期性.png
    例1

    f(1+x)+f(1-x)=0

    f(1+x)-f(1-x)=0

    f(x+1)+f(x-1)=0

    f(x+1)-f(x-1)=0

    以上四个函数分别代表了f(x)的什么性质?

    f(1+x)+f(1-x)=0

    定义域关于x=1对称,值域关于点(1, 0)对称。

    \Rightarrow f(x)关于(1,0)对称。

    f(1+x)-f(1-x)=0

    定义域关于x=1对称,值域关于x=1对称

    \Rightarrow f(x)关于x=1对称。

    f(x+1)+f(x-1)=0

    定义域以2为周期,值域以2为反周期(定义域每相隔2,则值互为相反数。)。

    \Rightarrow f(x)的反周期t=2T=4

    f(x+1)-f(x-1)=0

    定义域以2为周期,值域以2为周期(定义域每相隔2,则值相等。)。

    \Rightarrow f(x)的周期T=2

    例2:

    已知:f(x+2)=\frac{1}{f(x)},且f(1)=-5,求f(-5)的值。

    解:

    注:当f(x)以2为一个"倒周期",则其以4为周期。

    已知 f(1)=-5

    f(1)=f(-1+2)=\frac{1}{f(-1)}

    故:

    f(-5) = f(-1)=-\frac{1}{5}

    例3:

    奇函数f(2x)=-2f(x)f(1)=-\frac{1}{2},求f(8)的值。

    f(8)=(-2)^{3}f(1)=(-2)^{3}\times-\frac{1}{2}

    故:

    f(8)=4

    例4:

    奇函数y=f(x)关于x=\frac{1}{2}对称。求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值。

    解:奇函数的轴为x = \frac{1}{2},所以反周期t=2x=1T=2t=2

    周期为1,所以f(5)=f(4)=f(3)+f(2)=f(1)=f(0)

    而对于奇函数,f(0)=0

    故:

    f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0

    例5:

    对于偶函数,f(x)=f(2-x)且关于x=1对称,在定义域[1,2]间单调递减。求[3,4]间的趋势。

    解:偶函数关于x=1对称,则周期T=2

    故:

    区间[3-4]内也为递减。

    注:此类题应配合绘图解题。

    递增递减性.png
    例6:

    对于奇函数f(x),存在f(x+2)=-f(x),求f(6)

    解:

    f(x+2)=-f(x)

    \Rightarrow 对称轴是x=1t = 2T = 4

    \Rightarrow f(6)=f(2)

    f(x+2)=-f(x) ,以及对于函数f(0)=0

    \Rightarrow f(2) = f(0+2) = -f(0) = 0

    故:

    f(6)=0

    例7:

    对于函数f(x)T= 6, 对称轴为x= 3,在区间[0,3]递减,比较f(1.5)f(3.5)以及f(6.5)的大小关系。

    解:

    周期T=6 \Rightarrow f(6.5)=f(0.5)

    对称轴x=3 \Rightarrow f(3.5)=f(3+0.5)=f(3-0.5)=f(2.5)

    f(x)在区间[0, 3]递减,所以f(6.5)>f(1.5)>f(3.5)

    注:绘图解答题

    增减性.png

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