Proximal Algorithms 4 Algorithms

作者: 馒头and花卷 | 来源:发表于2019-06-09 21:04 被阅读0次

Proximal Algorithms

这一节介绍了一些利用proximal的算法.

Proximal minimization

这个相当的简单, 之前也提过，就是一个依赖不动点的迭代方法:

在这里插入图片描述
有些时候不是固定的:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

以 $f(x,y) = x^2 + 50y$ 为例

f = lambda x: x[0] ** 2 + 50 * x[1] ** 2
x = np.linspace(-40, 40, 1000)
y = np.linspace(-20, 20, 500)
X, Y = np.meshgrid(x, y) #获取坐标
fig, ax = plt.subplots()
ax.contour(X, Y, f([X, Y]), colors="black")
plt.show()

在这里插入图片描述

求解proximal可得:
$x = \frac{v_1}{2\lambda + 1} \\ y = \frac{v_2}{100\lambda + 1}$

def prox(v1, v2, lam):
    x = v1 / (2 * lam + 1)
    y = v2 / (100 * lam + 1)
    return x, y

times = 50
x = 30
y = 15
lam = 0.1
process = [(x, y)]
for i in range(times):
    x, y = prox(x, y, 0.1)
    process.append((x, y))

process = np.array(process)
x = np.linspace(-40, 40, 1000)
y = np.linspace(-20, 20, 500)
X, Y = np.meshgrid(x, y) #获取坐标
fig, ax = plt.subplots()
ax.contour(X, Y, f([X, Y]), colors="black")
ax.scatter(process[:, 0], process[:, 1])
ax.plot(process[:, 0], process[:, 1])
plt.show()

在这里插入图片描述

解释

除了之前已经提到过的一些解释：

Gradient flow

考虑下面的微分方程:

在这里插入图片描述
时，其中是最小值.
我们来看其离散的情形:

在这里插入图片描述

于是就有：
$x^{k+1} := x^k - h \nabla f(x^k)$

还有一种后退的形式:
$\frac{x^{k+1}-x^k}{h}=-\nabla f(x^{k+1})$
此时，为了找到 $x^{k+1}$ , 我们需要求解一个方程:
$x^{k+1} + h \nabla f(x^{k+1}) = x^k \\ \Rightarrow x^{k+1} = (I+ h \nabla f)^{-1}x^k = \mathbf{prox}_{hf}(x^k)$

还有一种特殊的解释，这里不提了.

$f(x) + g(x)$

考虑下面的问题:
$\mathrm{minimize} \quad f(x) + g(x)$
其中 $f$ 是可微的.
我们可以通过下列proximal gradient method来求解:
$x^{k+1} := \mathbf{prox}_{\lambda^k g}(x^k - \lambda^k \nabla f(x^k))$
可以证明(虽然我不会)，当 $\nabla f$ Lipschitz连续，常数为 $L$ ，那么，如果 $\lambda^k = \lambda \in (0, 1/L]$ ，这个方法会以 $O(1/k)$ 的速度收敛.

还有一些直线搜素算法:

在这里插入图片描述
一般取，是的一个上界，在后面的解释中在具体探讨.

解释1 最大最小算法

最大最小算法，最小化函数 $\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ :
$x^{k+1} := \mathrm{argmin}_x \widehat{\varphi}(x, x^k)$
其中 $\widehat{\varphi}(\cdot, x^k)$ 是 $\varphi$ 的凸上界: $\widehat{\varphi}(x, x^k) \ge \varphi(x)$ , $\widehat{\varphi}(x, x)=\varphi(x)$ .
我们可以这么构造一个上界:

在这里插入图片描述
上面的式子很像泰勒二阶展开，首先这个函数符合第二个条件，下面我们证明，当，那么它也符合第一个条件.

其中, 又Lipschitz连续，所以:

考虑关于的二阶泰勒展式:

令:

由当时，左边为, 所以的最大特征值必小于, 所以:

完蛋，好像只能证明在局部成立，能证明在全局成立吗？

$x^{k+1} := \mathrm{argmin}_x \widehat{f}_{\lambda}(x, x^k)$
再令：
$q_{\lambda}(x, y)=\widehat{f}_{\lambda}(x,y) + g(x)$
那么:
$x^{k+1} := \mathrm{argmin}_x q_{\lambda}(x, x^k)=\mathbf{prox}_{\lambda g}(x^k-\lambda \nabla f(x^k))$
上面的等式，可以利用第二节中的性质推出.

不动点解释

最小化 $f(x)+g(x)$ 的点 $x^*$ 应当满足:
$0 \in \nabla f(x^*)+\partial g(x^*)$
更一般地:

在这里插入图片描述
这便说明了一种迭代方式.

Forward-backward 迭代解释

考虑下列微分方程系统:

在这里插入图片描述
离散化后得:

在这里插入图片描述
注意，等式右边和，这正是巧妙之处.
解此方程可得:

在这里插入图片描述
这就是之前的那个迭代方法.

加速 proximal gradient method

其迭代方式为:
$y^{k+1} := x^k + w^k(x^k-x^{k-1}) \\ x^{k+1} := \mathbf{prox}_{\lambda^k g}(y^{k+1}-\lambda^k \nabla f(y^{k+1}))$
$w^k \in [0,1)$
这个方法有点类似Momentum的感觉.
一个选择是:
$w^k = \frac{k}{k+3}$
也有类似的直线搜索算法:

在这里插入图片描述

交替方向方法 ADMM

alternating direction method of multipliers (ADMM), 怎么说呢，久闻大名，不过还没看过类似的文章.
同样是考虑这个问题:
$\mathrm{minimize} \quad f(x) + g(x)$
但是呢，这时 $f,g$ 都不一定是可微的, ADMM采取的策略是:
$x^{k+1} := \mathbf{prox}_{\lambda f} (z^k - u^k) \\ z^{k+1} := \mathbf{prox}_{\lambda g} (x^{k+1} + u^k)\\ u^{k+1} := u^k + x^{k+1} -z^{k+1}$

特殊的情况是, $f$ 或 $g$ 是指示函数，不妨设 $f$ 是闭凸集 $\mathcal{C}$ 的指示函数，而 $g$ 是闭凸集 $\mathcal{D}$ 的指示函数, 即:
$I_{\mathcal{C}}(x)=0, if \: x\in \mathcal{C}, else \: + \infty$
这个时候，更新公式变为:
$x^{k+1} := \Pi_{\mathcal{C}} (z^k - u^k)\\ z^{k+1} := \Pi_{\mathcal{C}} (x^{k+1} + u^k) \\ u^{k+1} := u^k + x^{k+1} -z^{k+1}$

解释1 自动控制

可以这么理解， $z$ 为状态，而 $u$ 为控制，前俩步时离散时间动态系统(不懂啊...)，第三步的目标是选择 $u$ 使得 $x=z$ ，所以 $x^{k+1}-z^{k+1}$ 可以认为是一个信号误差，所以第三步就会把这些误差累计起来.

解释2 Augmented Largranians

我们可以将问题转化为:

在这里插入图片描述
augmented Largranian:

在这里插入图片描述
其中为对偶变量.
在已知的条件下，最小化, 即:

在已知的条件下，最小化, 即:

最后一步:

如果依照对偶问题的知识，关于应该是取最大，但是呢，关于是一个仿射函数，所以没有最值，所以就简单地取那个？
注意到：

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
让, 就是最开始的结果.

解释3 Flow interpretation

问题(4.9)的最优条件(KKT条件):

在这里插入图片描述
其中是对偶变量.考虑微分方程：

在这里插入图片描述
(4.11)取得稳定点的条件即为(4.10)((这部分没怎么弄明白).
离散化情形为:

在这里插入图片描述
取即可得ADMM.

解释4 不动点

原问题的最优条件为:
$0 \in \partial f(x^*) + \partial g(x^*)$

ADMM的不动点满足：
$x = \mathbf{prox}_{\lambda f} (x-u), \quad z = \mathbf{prox}_{\lambda g}(x+u), \quad u = u + x - z$
从最后一个等式，我们可以知道:
$x = z$ , 于是
$x = \mathbf{prox}_{\lambda f}(x - u), \quad x = \mathbf{prox}_{\lambda g}(x + u)$
等价于:
$x = (I + \partial f)^{-1}(x - u), x = (I + \lambda \partial g)^{-1}(x + u)$
等价于:
$x - u \in x + \lambda \partial f(x), \quad x + u \in x + \lambda \partial g(x)$
俩个式子相加，说明 $x$ 即为最优解.
再来说明一下，为什么可以相加，根据次梯度的定义:
$\lambda f(z) \ge \lambda f(x) + (-u)^T(z-x), \quad \forall z\in \mathbf{dom}f \\ \lambda g(z) \ge \lambda g(x) + (+u)^T(z-x), \quad \forall z\in \mathbf{dom}g \\$
相加可得:
$\lambda f(z) + \lambda g(z) \ge 2x + \lambda f(x) +\lambda g(x) + 0$
需要注意的是，我证明的时候也困扰了，
$x - u \in x + \lambda \partial f(x)$
并不是指(x-u)是函数 $x^2/2 + \lambda f(x)$ 的次梯度, 而是 $x-u$ 在 $\lambda f(x)$ 的次梯度集合加上 $x$ 的集合内，也就是 $-u$ 是其次梯度.

对不起！又想当然了，其实没问题, 如果
$g \in \partial f_1(x) + h(x)$
而 $\partial f_2(x)=h(x)$ 则:
$g \in \partial (f_1+f_2)(x)$
证:
已知:
$f_1(z) \ge f_1(x)+\partial f_1(x)^T(z-x) \\ f_2(z) \ge f_2(x)+h(x)^T(z-x) \\$
俩式相加可得:
$(f_1+f_2)(z)\ge (f_1+f_2)(x) +(\partial f_1(x) + h(x))^T(z-x)=(f_1+f_2)(x) +g^T(z-x)$
所以 $g \in \partial (f_1+f_2)(x)$ , 注意 $g=g(x)$ 也是无妨的.