1、简述感知机模型并证明其收敛性

感知机是二分类的线性分类模型，感知机对应于特征空间中将实例划分为正负两类的分离超平面，属于判别模型。

感知机模型如下：

其损失函数为误分类的样本到超平面的几何距离之和（去掉系数）：

从而损失函数的梯度为：

随机选择一个误分类点，对进行更新，就得到感知机学习算法：

每次找一个误分类点作上述操作，直至找到一个超平面将所有点正确分类（若样本点线性可分）。

其收敛性的证明也很简单，思路就是设有一个(含)，使得分类结果全部正确，则我们的模型可以不断调整方向并在有限步使得与同向（证明见here）。

2、简要介绍 KNN 算法

1. KNN 是一种基本的分类与回归方法。

• 分类问题：对新的样本，根据其个最近邻的训练样本的类别，通过多数表决等方式进行预测

• 回归问题：对新的样本，根据其个最近邻的训练样本标签值的均值作为预测值

2. 近邻法不具有显式的学习过程，而是直接预测。它是 lazy learning 的著名代表。

3. 近邻法是非参数学习算法，它没有任何参数（是超参数，而不是需要学习的参数）

3、KNN 算法的优点缺点

KNN的主要优点有：

1. 理论成熟，思想简单，既可以用来做分类也可以用来做回归

2. 可用于非线性分类

3. 训练时间复杂度比支持向量机之类的算法低，仅为O(n)

4. 对数据没有假设，准确度高，对异常点不敏感

KNN的主要缺点有：

1. 计算量大，尤其是特征数非常多的时候

2. 样本不平衡的时候，对稀有类别的预测准确率低

3. KD树，球树之类的模型建立需要大量的内存

4. 使用懒散学习方法，基本上不学习，导致预测时速度比起逻辑回归之类的算法慢

5. 相比决策树等模型，KNN 模型可解释性不强，无法说明各特征对分类的重要性

4、KNN 中的 K 值如何选取

值的选择没有经验性的方法，一般只能通过交叉验证来选取合适的k值。

如果值选择较小，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，“学习”的近似误差会减小，只有与输入实例较近的训练实例才会对预测起作用，但估计误差会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感，如果近邻的实例点恰巧是噪声，预测就会出错。相反如果值选择较大，就相当于用较大的领域中的训练实例进行预测，近似误差会增大，但估计误差会减小。

对于近邻法来说，越大模型越简单，这一点乍一看不容易理解，但其实我们可以考虑极端情况（为样本数），此时任何新样本都会被归入当前样本集中实例最多的类别，从而丢失大量信息。反之，越小模型越复杂，模型将面临过拟合风险。

5、KNN 中如何快速找到 K 个距离样本最近的点

解决办法是：使用 KD 树来提高 KNN 搜索的效率。

KD 树是一种对维空间中的样本点进行存储以便对其进行快速检索的树型数据结构。它是二叉树，表示对维空间的一个划分。构造 KD 树的过程相当于不断的用垂直于坐标轴的超平面将维空间切分的过程。树的每个结点对应于一个维的超矩形区域。

用 KD 树进行最近邻搜索的时候，首先在 KD 树中找到包含目标节点的叶结点，以此叶结点为“当前最近点”，然后递归地向上回退，若该结点保存的实例点比当前最近点距离目标更近，则以该点为“当前最近点”。检查该子结点的父节点的另一个子结点对应的区域是否有更近的点，即检查另一子结点对应的区域是否与以目标节点为球心，以目标点到“当前最近点”的距离为半径的超球体相交。若相交，可能在另一个子结点对应区域中存在距离目标更近的点，移动到另一个子结点，继续递归地进行搜索。若不相交，向上回退。当回退到根结点，搜索结束，此时的“当前最近点”即为最近邻点。K 近邻的搜索与之类似。

KD 树搜索的平均计算复杂度为，为训练集大小。KD 树适合样本数远大于特征数的情形。