The KP equation and Sato theory

作者: 悟空金月饺子 | 来源:发表于2021-08-06 17:24 被阅读0次

The KP equation and Sato theory
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Based on "Sato Theory and Tranformation Groups. A Unified Approach to Integrable Systems" by Ralph Willox and Junkichi Satsuma

Sato theory 也是一个关于可积系统的漂亮的理论，提供了一个了解可积性的角度。其核心是我们不应该独立的看某一个可积系统，他的可积解构是放映在他所处的类，即hierarchies，里面的。（一个类比是，当我们想对角化一个哈密顿量的时候，可以考虑所有与他对易的算符，然后寻找他们共同的本征函数。）奇妙的是，这样的hierarchies是存在的。

KP hierarchies就是一个很好的例子来理解为什么KP equation，这个非线性的偏微分方程是可解的。

我们从一个2阶常微分方程出发

$f''(x)+a(x)f'(x)+b(x)f(x)=0 ,\tag{1}$
他有两个独立的解 $f_1$ and $f_2$ 。方程里的系数 $a(x)$ and $b(x)$ 与这个两个解的关系是

Screen Shot 2021-08-03 at 1.37.02 AM.png

方程的解当然不是唯一的，我们可以假设 $f_i$ 依赖于一些额外的参数比如 $y,t$ ，同时满足“色散关系”

$\frac{\partial f_i}{\partial y}=\frac{\partial^2 f_i}{\partial x^2},\quad \frac{\partial f_i}{\partial t}=\frac{\partial^3 f_i}{\partial x^3}.$
这时原来微分方程的系数 $a(x,y,t),b(x,y,t)$ 通过假设的色散关系就也会满足一些相对复杂的偏微分方程。

根据方程(1), 我们可以定义一个二阶的微分算符

$\hat{W}=\partial^2_x+a(x,y,t)\partial_x+b(x,y,t),$

$\hat{W}f_i(x,y,t)=0. \tag{2}$

我们在方程(2)里对 $y$ 求导可得
$\hat{W}_y f_i+\hat{W}\partial_y f_i\equiv [a_y \partial_x+b_y+\hat{W}\partial_x^2]f_i=0\tag{3}$
这里我们用了色散关系，还有方程里的下角标表示偏导 $a_y=\frac{\partial a}{\partial y}$ 。

这个新的方程(3)说明，我们构造的这个四阶的微分算符 $\hat{W}_y+\hat{W}\partial_x^2$ 可以分解成一个2阶的算符与 $\hat{W}$ 的乘积
$\hat{W}_y+\hat{W}\partial_x^2=\hat{B}_2\hat{W},\tag{4}$
假设这个二阶算符的形式是
$\hat{B}_2=\partial_x^2+\alpha_2(x,y,t)\partial_x+\beta_2(x,y,t)$
然后比较(4)的两边就会发现
$\alpha_2=0,\quad \beta_2=-2a_x$
同时需要满足如下的限制条件
$a_y=a_{2x}-2aa_x+2b_x,\quad b_y=b_{2x}-2a_xb，$
我们可以认为这个是由 $f_i$ 色散关系导致的 $a,b$ 的色散关系。
同样的道理，在方程(2)里对于 $t$ 求导会得到另外的关于 $t$ 的色散关系还有一个额外的三阶算符 $\hat{B}_3$ . 因为 $\partial_t\hat{W}_{y}=\partial_y\hat{W}_{t}$ 所以我们可以得到关于 $\hat{B}_2$ 和 $\hat{B}_3$ 的关系

$(\hat{B}_2)_t-(\hat{B}_3)_x=[\hat{B}_3,\hat{B}_2]$
带入具体 $\hat{B}_2$ 和 $\hat{B}_3$ 表达式，我们就得到了KP方程
$(4u_t-12uu_x-u_{3x})_x-3u_{2y},\quad u(x,y,t)=(-a(x,y,t))_x.$
而利用 $a,b$ 的色散关系，还有 $a,b$ 与 $f_i$ 的关系，我们可以得
$a(x,y,t)=\frac{-\tau_x(x,y,t)}{\tau(x,y,t)}.$
所以我们发现，KP方程的解 $u(x,y,t)$ 完全由 $\tau(x,y,t)$ 方程决定。

虽然我们知道怎么去求 $\tau(x,0,0)$ ，但是怎么去理解 $\tau(x,y,t)$ 。参数 $y,t$ 是描述了怎样的flow? 要回答这个问题，我们要先知道 $\tau(x,y,t)$ 所在的线性空间。

我们可以对 $f_i$ 在 $0$ 点附近做Tylor展开
$f_i(x)=\sum_{j=0}^\infty \zeta_j^I \frac{x^j}{j!},\quad \zeta_j^i=\frac{d^j f_i}{d x^i}\,|_{x=0}$
这样我们得到了 $2\times \infty\in M(2,\infty)$ 的矩阵

$Z _0(0)=\begin{pmatrix} \zeta_0^1&\zeta_0^2 \\ \zeta_1^1&\zeta_1^2\\ \dots & \dots\end{pmatrix}$

所以 $Z_0$ 完全确定 $\tau(x,0,0)$ ，但是如果做一个对 $f_i$ 做一个线性组合或者说 $GL(2,C)$ 的变化，对应的 $\tau(x,0,0)$ 是不变的。也就是 $\tau(x,0,0)$ 所在的空间是 $M(2,\infty)/GL(2,C)\equiv Gr(2,\infty)$ ，称为Grassmanian。从 $Z_0$ 出发，我们可以定义shift $Z_0(x)$ 通过左乘一个矩阵
$Z_0 (x)=\exp(x \Lambda )Z_0 (0)= \begin{pmatrix} f_1&f_2 \\ f_1' & f_2'\\ \dots & \dots\end{pmatrix}$
根据 $f_i$ 的色散关系，我们可以定义在 $y,t$ 方向上的shift
$Z_0(x,y,t)=\exp(x \Lambda+y\Lambda^2+t\Lambda^3)Z_0 (0)$
同时也就定义了 $\tau(x,y,t)$ 。 $(\zeta_{ij})$ 定义了 $Gr(2,\infty)$ 上的一组坐标。这些坐标是 $GL(2,C)$ 协变的，我们引入一组guage invariant 坐标 $\xi_{ij}$

$\xi_{ij}=\det \begin{bmatrix} \zeta_{i1}&\zeta_{i2}\\ \zeta_{j1}&\zeta_{j2}\end{bmatrix}$

但是 $\xi_{ij}$ 是overcomplete的，满足所谓的Plucker relations。这个relations 会导致 $\tau(x,y,t)$ 的一个限制

$(D_x^4-4D_xD_t+3D_y^2)\tau\cdot \tau=0$
称为Hirota 方程。

现在我们把KP方程的情况推广到整个KP hierarchy。整个Hierarchy有无穷多个flow，
$Z(t_1,t_2,\dots)=\exp(\sum_{n=1}^{\infty}t_n \Lambda^n)Z_0$
所以 $\tau(t_1,t_2,\dots)$ 也就依赖无穷多个参数( $t_1\equiv x$ ), 对应的Grassmannian也变成了 $Gr(\infty/2,\infty)$ . 所有的shift(演化) $\{ \exp(t_n \Lambda^n)\}$ 构成了一个无穷维的群，称为tranformation group 他是 $GL(\infty)$ 的一个子群. 根据Grassmannian 的定义 $GL(\infty)$ 是Grassmannian的自同构。所以我们可以认为 $\tau$ 对应了 $GL(\infty)$ 的一个表示。我们先可以看 $GL(\infty)$ 对应的李代数 $gl(\infty)$ 的表示。最简单的他有费米表示
$\sum_{ij}a_{ij} :\psi_{-i}\psi_j^\star \in gl(\infty),\quad \{\psi_i,\psi_j\}=\{\psi_i^\star,\psi_j^\star\}=0,\quad \{\psi_i,\psi_j^\star \}=\delta_{i+j,0}$
利用这个表示， $\tau$ 可以写成
$\tau(t_1,t_2\dots)=\langle 0|e^{H(t_1,t_2,\dots)}g|0\rangle,\quad g\in GL(\infty)$
其中
$H=\sum t_n H_n,\quad H_n=\sum_{j} \psi_{-j}\psi_{j+n}^\star$
$|0\rangle$ 是这个费米表示的基态。

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