2020-05-13 (‘t Hooft anomaly)

终于搞好了draft的主要部分，只剩下dot the i and cross the t, 稍微皮一下。

无意中看到D. Harlow的以前的talk的abstract，提到现在对topological order的分类或者说是对‘t Hooft anomaly 的分类是有问题的。找到他的那篇讲symmetry的文献一看，的却打破了我的一些惯性思维，也就是被chiral anomaly这个经典例子洗脑后的almost but not exactly correct的对 ‘t Hooft anomaly 的认识。

Harlow 他们的文章提到了3点关于’t Hooft anomaly的可能存在的误区：

1. Not all the ‘t Hooft anomalies act by multiplying the partition function by a c-number;

2. Not all the ‘t Hooft anomalies which act by a c-number have the that c-number be a phase;

3. Even when the ‘t Hooft anomaly is phased-valued, it has not been shown that this phase can always be canceled by the gauge transformation of the classical action of a topological gauge theory in d+1 dimension.

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对于我们熟悉的chiral anomaly，的确anomaly是一个对于background field 场强的积分，是一个c-number。这里Harlow 举了一个SU(2) U(1)混合anomaly的例子，会发现SU(2)的anomaly 同时依赖 SU(2)的gauge field 还有 U(1) 的background field。所以这个anomaly 是一个operator-valued。

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一个conterexample 是 欧式的Weyl anomaly 是real 的所以不是一个phase。

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前两个 commnets 只是说目前literature 里面考虑的分类只包含‘t Hooft anomaly的一部分。但是第三个commnet 更crucial 一些。目前literature是里面使用group cohomology 来进行分类。但是这里暗含一个假设，就是我们加的counter term （来自于对partition function 的redefinition） 只能locally 依赖 background field。