三角函数

    一个直角三角形的边与边，角与角之间到底有哪些关系呢？对于这个问题我们之前其实已经有所解答，像勾股定理和直角三角形的两个锐角互余之类更是已经多次被运用到我们的学习生活中。但是，作为三角形的两大元素，边与角一直是紧密联系着的，从几何变换中就可以清晰地感受到这一点。那么对于直角三角形来说，它的边与角究竟有着怎样的定量关系呢？

      此时，我们会发现，虽然在对几何和勾股定理的学习当中我们隐约发现了几组特殊的边角的关系（锐角为45度的三角形两直角边相等，直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半），但却没有任何具有普遍性的关系。

      真的没有吗？不，只不过我们之前没有发现而已，就拿描述一个直角三角形斜边的坡度来讲，与坡度有关的最最直接的很明显，就是坡度的底角和顶角，其中底角越大坡度越陡，顶角越小，坡度越陡。但同时我们也会发现，对于任意两个直角三角形，如果其底角所对的直角边与邻边的比值越大，那么这个底角必定是越大的，根据这样的逻辑，我们也可以继续猜想当两边的比值达到某一个值的时候其所对应的底角也是一个定值，即边之间的比例也会影响脚的大小。

      而在最终，经过探索之后，我们发现了三个符合以上猜想的比：正切（tagent）正弦（sine）和余弦（cosine），分别表示为对应角的对边和邻边的比，对应角的对边和斜边的比，以及对应角的临边与斜边的比。利用这种比例关系，我们只需要知道直角三角形中除了一个直角之外的任意两个条件（但两条件不全为角），就可以将这个直角三角形所有组成部分全部确定，最后我们也终于清楚，数学界把这种规律称之为三角函数。（之所以称为函数，是因为三角函数的比值与其所对应的角拥有规律性的联系，如果画图的话就是以下的样子）

      既然任意直角三角形拥有三角函数这种边与角之间的关系，那么对于任何一个三角形又到底有没有这种关系呢？我们的猜想是有的，可是如何证明？

    按照探索直角三角形三角函数的思路，或许我们可以直接进行某一种定义，然后再从定义中试着找到规律？比如说也将正切定义为任意三角形的对边和相领短边的比，将正弦定义为对边和相邻长边的比，将余弦定义为短临边和长临边的比。

    按照猜想，我于是开始进行多组试验，分别归纳和总结不同三角形的边角关系，并最终得到了结论：

    验证结果不符合猜想。。。

    也就是说，如果我们平白无故的直接加上一个定义，这对已经拥有一个定值的直角三角形来说就已经是很有风险的行为（所以，最初发明三角函数的数学家也一定是极其艰苦的），更别说是没有任何一个定值的普通三角形，其边角概率可能达到了天文数字种，想要单纯用一个直接定义式的猜想得出结论无异于天方夜谭。所以，如果我们能够尝试利用直角三角形里出现的性质，才能够在一定程度上化繁为简，进行推导。

      想要进行这个过程，首先我们需要画一个任意普通的三角形，并且做一条高。

      那么此时可以发现的是，这条高将原三角形分成了两个小直角三角形，而两个原小三角形是必定符合我们推导出的三角函数的。那么我们能不能利用这个三角函数的关系，将高和高划分出的两部分底边用已知的边的长度A B C表示出来呢？显然是可以的。

      而当我们将两者完全表示出来，又会发现，这两者刚好和三角形的另一个边AC在一个直角三角形里，利用勾股定理能够列出这么一个等式。

      注意，此时的等式已经完全变成了三角形三边的等式，我们继续将其化解。

      最后，一个任意三角形的余弦（cosine）等式出现在了我们的面前，由于是通过直角三角形的三角函数等等性质严格推理证明而来，这个等式也必定不会有任何问题。从此，我们能够利用任意三角形的角求边的比，利用任意三角形的边求角。

    这样一个规律能够干什么呢？能够干得快的多了去了，最最直观的一个便是证明判定俩三角形全等。在之前对这一判定过程的学习当中，因为缺乏学习手段，我们只能够将边边边和角边角判定全等定为不正自明的公理，但公理毕竟是不可靠的，因此我们无法对整个判定过程进行完全的信任。可如果依靠任意三角形的三角函数关系，两者便分别都能够证明从而变成完全的能够信任的定理，彻底坚定我们对于整个三角形全等的探索。（全等三角形的定义是三边对应相等，三角对应相等，而如果我们已知三边就可以通过研究出来的三角函数公式求出三角，符合原先的定义。换做是角边角的证明也相差无几，利用角求出个边之间的比值，再利用比值中的一各边的定值求出另外两边的定值）

      当然，三角函数的奥秘远远不止于此，今天这篇文章的探索只能算作登堂入室，就让我们继续期待以后的学习历程吧！