[原文]（http://www.reedbeta.com/blog/hows-the-ndf-really-defined/
）
Normal Distribution Function(NDF)是BRDF中重要的一项。他用统计的方法描述了表面微观形态的微面元的分布。NDF必须满足一定的条件。
NDF是一个函数，宽泛来说，是微面元与某个特定方向对齐的似然（the likelihood of a micro-facet being aligned in a particular direction）。在BRDF中，他作为一个权重函数去缩放整体反射的亮度，但是NDF是表面的基本几何属性，和光的反射没有必然关系。
既然他是一个关于方向的函数（function of direction），以及他的单位为(注，在eric heitz论文中，指出单位应为
)，似乎很自然的认为NDF是立体角上的概率密度。如果我们在半球空间中有个单位向量
, 以及一个小立体角
（这个立体角代表了
附近的一系列方向（representing a set of directions around
））， 那么，一个微面元的方向落在
中的概率为
，其中
为NDF。
既然，微面元法向一定落在半球空间中的某处，那么半球空间中NDF的积分应该等于1：
看起来很简单，right? 如果你用一个标准的NDF，比如Blinn-Phong，Phong，Beckmann，GGX等放进这个积分，结果不会是1. 比如，对于粗糙度的Beckmann分布，积分为1.113.
对于一个归一化（normalised）的NDF，正确的形式应该是：
这下，计算应该是正确的了。
如果你读过很多BRDF和radiometry的文献，你就会知道代表了投影面积(projected area)，确实，它代表了宏观表面面积（法向
）和微面元面积（法向
）之间的转换。
image
如果是法向为
的微面元，其投影到宏观表面的区域为
，那么
因此，似乎NDF不是立体角上的概率密度了；他和面积也有关系--事实上，两个不同面积的度量：宏观面积和微观面积。那他到底是什么？
介绍GGX的那篇论文，Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces，给出了答案，NDF遵循如下公式：
其中，是一组宏观表面上个一个小块(patch)，这个小块很小，小到足以认为平滑，但是比微面元大很多。
是
中，所有法向量在
的微面元的总面积。
从这个角度看来，NDF根本不是概率密度，它是在宏观面积和立体角的联合域(joint domain of macro-area and solid angle)上，微观面积的密度（density of micro-area）。 面积单位消去了，因此NDF的单位，仍然为，但是，它涉及了面积，这需要正确的理解。
归一化条件可从上面的等式中推导，可得：
左边部分的积分是在小块(patch on macro-area)上所有微面元的面积上进行的，右边部分的积分是在半球空间的立体角上进行的。如果，我们需要等式等于1，那么相当于，我们需要所有微面元的总共的投影面积等于宏观表面那一小块（patch）的总面积。换句话说，有足够多的微面元去覆盖宏观表面。NDF的归一化条件，保证了一致性。
Walter 给出了一个更强的条件，对于任何方向，应有：
归一化条件也是这个等式的特殊情况，即。更通用的条件保证NDF与“微表面为流型”的一致性，不仅仅是三角形soup(triangle soup)。微表面的边界必须和宏观表面的边界相匹配。（作者不确定是否，一个NDF可以满足归一化条件，但是对于某些
无法满足流型条件）
作者假设微面元法向总是在上半球空间，这一条件与流型条件一起，使得微表面成为一个高度场（heightfield）。这一条件很方便，但是不是必须的。对于一个场景的3D微表面，仅仅扩展其积分从半球空间到整个球面空间。注意，所有的点乘都是未clamped，许多标准的NDF，例如Blinn-Phong，Beckmann，GGX在反法向半球空间内，数值都为0.
所以，NDF不仅仅是微面元的法向在立体角上的概率分布，它需要进行归一化。
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