经过多次咖啡讨论后,我们萌生了写一本关于“最小作用原理”的书的想法;同时,我们也在思考如何向学生传达具有历史风味的力学思想。之所以选择最小作用原理,是因为我们认为常规课程未能充分强调其作为物理学统一思想的重要性和美学价值。对于一般大众,甚至对那科普感兴趣的人,这种将物理学基本定律表达为某种事物的最小(或极值)的优美记法常常感到陌生。自然喜欢极限。肥皂膜以球形试图将其表面积最小化;大块物质趋向于最大化其各部分之间的引力,因此行星也是球形的;在玻璃窗上光线会改变方向并遵循最短时间路径;行星的轨道是使所谓的“作用"最小化的轨道;相对论粒子在时空的两个事件之间的路径是使粒子上的时钟所测量的时间最大的路径。
我们最初的意图是写一本大众书,但项目逐渐变得更加技术性。不过,我们还是试图将复杂的数学保持在最低限度:本书大部分内容所需数学不超过大一新生的微积分,相当一部分仅需要高中代数。熟悉微分方程将有助于理解某些章节。由于本书不同章节的难度各不相同,按顺序阅读并非必须。因为大多数章节和许多部分都是相对独立的,完全可以随便翻开就读。在初次阅读时,可以跳过技术性较强的部分,包括1.1、2.5、3.2.2、3.2.5、4.3、5.7、6.2至6.6、7.7和8.8。他们在文本中用星号标记。
阐述最小作用原理这一主题最好的著作是Cornelius Lanczos的《The Variational Principles of Mechanics,力学的变分原理》以及Wolfgang Yourgrau和Stanley Mandelstam的《Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory,动力学的变分原理》。我们的书可以看作是对这两部杰作的补充。此外,本书还详细阐述了最小作用原理的历史发展,给出了基本的实例,并引导阅读原著、欣赏科学。用Isidor Isaac Rabi的话说,”在其历史背景下的人类努力,……不是一种花招,而是对智识的探求。”
最小作用原理的形而上学源头来自Aristotle(亚里士多德)的《De caelo,论天》和《Politics,政治学》):“自然不做徒劳无功之事。”如果自然有目的,她该走最小路径。至少这是公元一世纪亚历山大城的Hero(Hero of Alexandria)推导反射定律所追求的观念:光走使行进时间最小的路径。后来的1657年,Pierre de Fermat(费马)将这个想法推广到光线的折射。Fermat说:"自然总是以最简单的方式作用。也即,在不考虑时间的情况下沿最短的路线作用,或者说在任何情况下都以最短的时间作用。这个假设是最可能的也是最显而易见的 。"阿拉伯天文学家Ibn al-Haytham也使用“最简单路径”原理来解释折射。1638年,Galileo(伽利略)在提出自由落体的匀加速假说时,也呼应了Aristotle:"考察自然在她所有作品中所遵循的习惯和程序,可见她习惯上采用最基础的、最简单的、最容易的方法。我们正是受此指引进行的对自然加速运动的探索。''1746年,Pierre Louis Moreau de Maupertuis(莫培督)提出了最小作用原理。他以形而上学和宗教观点表达着他对这个指引了费马和伽利略的朴素观念的信奉。他写道,"自然,就起产生的效果而言,总是以最简单的方式。"更具体地讲:"自然的变化所必需的作用量(la quantité d’action)是最小的。作用是物体质量与其速度及其移动距离的乘积。"后来,Maupertuis含糊不清表述的在Leonard Euler(欧拉)手中变成了一种确切构建的原理。Gottfried Leibniz(莱布尼兹)使用类似(但不完全相同)的思想来研究光的折射。Leibniz的想法是""最确定的''路径,它反映了"上帝创造所有可能世界中最好的世界的意图。''他在《Tentamen Anagogicum》中说,"这一自然原理纯粹是建筑性的。''然后他补充道:“假设一种情况,自然以此为目的,在仅给定周长或总长的条件下构造一般的三角形,那么自然将构造一个等边三角形。”
最早以最小作用原理阐述力学的是由John Bernoulli(约翰·伯努利),他用力学对光学的类比来解决"最速降线问题'':在垂直平面上的两个固定点之间,粒子以何种曲线运动所用时间最少?Bernoulli将问题转换为在变化介质中的光线折射问题,其中光走的是时间最短路径。力学和光学之间的映射与Maupertuis原理同构。假设折射率是由粒子的动量来确定的,那么将粒子的作用最小化和将光的时间最小化就变成了相同的数学问题:路径是同构的。可见,最小作用原理可被视为牛顿运动定律的另一种等效表述。
在启蒙时代,Newton的思想被扩展到解决受约束力学系统问题。关键人物是James Bernoulli(詹姆斯·伯努利)、Jean le Rond d’Alembert(达朗贝尔)和Joseph-Louis Lagrange(拉格朗日)。发展的中心概念是给出了静态平衡及其向动力学扩展的条件的虚功原理。Lagrange的始于1760年的工作极为重要。对有个自由度的受约束系统(例如,受约束在球体表面上移动的粒子的,因为在给定位置它只能在两个方向上移动),他能将结构上完全相同的个等式归结为一个函数(拉氏量),用以表示运动。Lagrange方程可以从最小原理导出,从而产生了最小作用原理的扩展版本:Maupertuis的最小原理给出了空间两点之间在固定能量值下的路径,而Lagrange积分给出了空间两个固定点在给定时间下的路径。1820年代开始,Lagrange的思想被William Rowan Hamilton(哈密顿)和Carl Jacobi(雅各比)拓展。Hamilton和Jacobi将光学和力学的类比放在一个更宽泛的概念框架中:从时刻从给定原点传播的发出的路径的终点(每条路径都是Lagrange最小作用),在后面的时间产生一个传播的"波前''。该波前是与粒子轨迹相交的表面(就像光的波前垂直于光线一样)但没有波特有的干涉或衍射效应。然而,这引起了一个"自然''的问题:如果光线是波动光学的小波长极限,那么小波长极限波动理论会给出什么样的粒子轨迹?在19世纪中叶,Hamilton没有基于实验的理由来回答这个问题;1920年代Louis de Broglie(德布罗意)和Erwin Schrödinger(薛定谔)的波动力学量子理论给出了答案。1923年,De Broglie写道:"波动代替纯几何光学时光学经历的革新,动力学也必须经历。''1926年,Schrödinger考虑了"Hamilton-Jocabi微分方程与'同盟'波动方程的一般相似性"。1942年,Richard Feynman(费恩曼)在最小作用和量子物理学之间建立了更深的联系:量子粒子在时空的两个固定点之间传播时,并不遵循单一路径,而是"同时''遵循所有可能的路径。每条路径对总传播的贡献是Hamilton作用的(复)指数。
事实上,物理学的许多基本定律都可以用最小作用原理阐述(选择合适的作用)。Max Planck据此说,"在过去几个世纪中能体现物理科学成就的某种程度上的普适定律中,最小作用原理可能是形式和内容上最接近理论研究的终极理想目标的原则。''1920年,Arthur Eddington(爱丁顿)写道:"引力定律、力学定律和电磁定律都按最小作用原理进行了总结……作用是前相对论物理学中用于描述绝对世界的无需修正的的两个术语之一,另一个是熵。''尽管Einstein在相对论(狭义和广义)中没有遵使用最小作用方法,但Max Planck在1907年的相对论论文(第一篇非出自Einstein之手的相对论论文)中就用最小作用原理阐述了狭义理论的动力学。最小作用原理最有趣的应用之一是David Hilbert推导广义相对论的场方程。Hilbert从Einstein那里得知,相对论引力理论必须包含一个四维时空的曲率。Einstein奋斗了八年,最终通过分析场方程本身的性质得出了解。Hilbert使用最小作用原理,猜出了“最自然的”拉氏量,在1915年赶在 Einstein 之前推论出了场方程。
我们写这本书的目的是要在某种数学严格性上讲上述故事,同时尽可能地保持资料的原貌。第2章首先考察了最小作用原理的一些古老版本,然后继续讨论Galileo的最速下降曲线和Fermat的微积分萌芽思想。我们还包括了 Newton牛顿对最小阻力固体的计算,该计算蕴含了最小作用原理中使用的变分演算。在第3章中,我们引介了 Newton的《Principia,自然哲学的数学原理》,尽管它与变分原理没有直接关系。我们这样做有两个原因:本书对力学具有极其重要的意义,Newton的思想对发展最小作用原理至关关键。第4章讲到了光学和力学类比的故事以及变分原理的真正开始。在第5章中,我们介绍了虚工原理和Lagrange方程。在这里我们指出,最小作用原理不能提供非完整约束系统的动力学。在非完整约束系统中,约束是根据可能的运动而不是根据可能的配置来表达的。第5章及随后的内容需要熟悉微积分。在撰写第6章时,我们决定尽可能地关注Hamilton的重要论文,这使得本章的某些部分可能比前几章中的材料更难理解。我们进行了关于动力学焦点的讨论,该讨论强调了这样一个事实,即最小作用原理应被称为极限(或临界)作用原理,因为作用并不总是最小的。对经典(非量子)系统,作用可能是永远不能达到最大值的极值;这给我们留下了一个最低点或一个鞍点,而这两者都是可能的。第7章概述了与最小作用相关的相对性。最后,在第8章我们叙述了量子理论的发展,特别是我们梳理了它与光学力学类比和最小作用原理的联系。
译自:Alberto Rojo and Anthony Bloch, THE PRINCIPLE OF LEAST ACTION: History and Physics, Cambridge University Press, 2018
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