0 一维 array 对象

np中的一维向量有个特殊的用法，即将行或列设为 None，来进行转换。

a = np.array(range(5)) # np.arange(5)
a.shape
  Out: (5,) # 实际是行向量，注意表示方式的不同。
a[None,:].shape
  Out: (1,5) # 1 x 5 行向量
a[:,None].shape
  Out: (5,1) # 5 x 1 列向量

进一步理解上述操作。

a = a[None,:]
a.shape
out: (1,5)
a = a[None,:]
a.shape
out: (1,1,5)

0-1 理解 Numpy 中的 Shape

The meaning of shapes in Numpy

The best way to think about NumPy arrays is that they consist of two parts, a data buffer which is just a block of raw elements, and a view which describes how to interpret the data buffer.

理解 Numpy 中的 shape 的方法：
Numpy 中用两部分来表示数组形状：数据本身和形状描述。
具体解释可以看原文。

0-2 Numpy 中的 (R,)

是自由变量吧？即可以是行向量，也可以是列向量。证据：转置。

a = np.array(range(3)) # np.arange(3)
a is a.T
out: False

b = a.T
a[0] = 1
b
out: [1,1,2]

a.shape
out: (3,)
a.T.shape
out: (3,)

但实际上，Numpy 把 (R,) 当做行向量来理解。 将一个 (5,) 向量和一个 (3,5) 的二维矩阵相乘会出错（对也不对，没有深入理解。见下一小节的解释。）：

a = np.arange(5)
b = np.reshape(np.arange(15),(3,5))
np.dot(a,b)
ValueError: shapes (5,) and (3,5) not aligned: 5 (dim 0) != 3 (dim 0)

0-3 纠错和补充

numpy 中的 broadcasting（广播）机制 一文中讲解了 广播 的机制，并解释了一维数组的行为。

一维数组置于矩阵乘法的左部，被视为一个行向量；
一维数组置于矩阵乘法的右部，被视为一个列向量；
矩阵乘法运算结束得到的向量仍是一维数组。

试验了下，确实如此：

a = np.arange(5)
b = np.reshape(np.arange(15),(3,5))
np.dot(b,a).shape
out: (3,)

1 向量的表示方法

(5,) 表示的是一个 1 x 5 的 行 向量。

a = np.array(range(5)) # np.arange(5)
  Out[1]: array([0, 1, 2, 3, 4])

a.shape
  Out[2]: (5,)

2 向量和矩阵的乘积

(5,) 和 (5,3) 的矩阵是可以直接用 np.dot() 相乘的(矢量乘法)，得到一个 1 x 3 的向量。

b = np.reshape(np.array(range(15)),(5,3))
  Out[3]: 
  array([[ 0,  1,  2],
         [ 3,  4,  5],
         [ 6,  7,  8],
         [ 9, 10, 11],
         [12, 13, 14]])

np.dot(a,b)
  Out[4]: array([ 90, 100, 110])

但不能直接相乘，会提示维度不对应，无法进行广播。此时，python 是将 a 当做行向量的。

a * b
  ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (5,) (5,3) 
a * b.T
out: array([[ 0,  1,  2,  3,  4],
             [ 5,  6,  7,  8,  9],
             [10, 11, 12, 13, 14]])

也可以强行将 a 转换为一个 1 x 5 的行向量，再进行乘法。

a = a[None,:] # 1:5 行向量 
np.dot(a,b)
  Out[4]: array([ 90, 100, 110])

3 向量和向量的乘法

3-1 对应元素相乘

c = a
a * c
  Out[5]: array([ 0,  1,  4,  9, 16])

3-2 点乘

np.dot(a,c)
  Out[6]: 30

3-3 叉乘

a(5,) 和 c(5,) 的叉乘需要将第二个变为列向量，c[:,None]。

a * c[:,None] # np.outer(a,c)
Out[7]: array([[ 0,  0,  0,  0,  0],
               [ 0,  1,  2,  3,  4],
               [ 0,  2,  4,  6,  8],
               [ 0,  3,  6,  9, 12],
               [ 0,  4,  8, 12, 16]])