生物统计学---几种常见分布

作者: 日月其除 | 来源:发表于2021-04-29 14:12 被阅读0次

生物统计学---几种常见分布
正态分布在统计学里是怎样的存在?
统计学-常见的分布
统计学
高斯过程回归
机器学习中正态分布为什么常见？
统计学学习-1
R统计学(06): 负二项分布
R统计学(05): 泊松分布
统计学基础汇总

写在前面
在学习统计学中，一直没有真正理解和记住常见的统计学分布，对后面的统计推断也迷迷糊糊，所以在这里总结整理一下。
参考书籍：李春喜姜丽娜邵云张黛静编写生物统计学第五版

几个概念：
频率&概率：n次重复实验，事件A发生m次，则 $\frac{n}{m}$ 为事件A发生的频率。当n不断增大时， $\frac{n}{m}$ 逐渐稳定并且接近某一个值，记作p，那么此时定义p为其概率。
概率分布：：简单来说，就是事件发生x次（x为随机数字）时的概率的分布情况。例如种子发芽，发1~n颗事件与其相对应的概率之间的关系。
大数定理：一言蔽之，n足够大的时候，事件A发生的频率等于事件A的频率。
离散型随机变量：变量 $x_i$ (i=1,2,...n)都有一个相应的概率，n为有限多个或者无线可列多个。比较简单的例子就是仍骰子，扔到1~6的六个事件概率均为1/6。
连续型随机变量：例如人类身高这种数据，一般需要分组求其频率，在无限大n（即将数值区间进行无限细化），将频率就接近概率。
无偏估计：对N的近正态总体抽样，每次抽取n，总共有 $C_{N}^{n}$ 种抽样方式。记录每种抽样方式所得到的样本的平均值和方差，标准差。所以就得到了 $C_{N}^{n}$ 个样本的平均数以及方差，标准差。除以n计算其平均值，样本平均数的平均值=总体平均值，样本方差的平均数 $s^2$ =总体方差 $\delta^2$ 。因此，样本平均数 $\overline{x}$ 可以用来估计总体平均数 $u$ ，样本方差 $s^2$ 可以用来估计总体方差 $\delta^2$ 。所以这两个是无偏估计。样本标准差不是无偏估计。这里的标准差不是方差开根号，而是使用 $C_{N}^{n}$ 个样本标准差求取平均值。此处的方差是使用 $C_{N}^{n}$ 个样本方差求均值。
注意： $C_{N}^{n}$ 个样本的平均数的平均值等于总体平均值，以此推断单次抽样的平均值可以用来估计总体平均值。我的理解是，当n足够大的时候，单次抽样的平均值 $\overline{x}$ 在总体平均值左右徘徊，抽样误差满足正态分布。n越大，抽样误差除以n，就会导致误差非常小，单次抽样平均数 $\overline{x}$ 无限接近总体平均值 $u$ 。

几种常见的理论分布:

二项式分布：

基本概念：
满足条件：1）重复的独立实验；2）事件只有两种结果，例如抛硬币只有正反两种结果，种子只有发芽和不发芽两种结果。事件 $A$ 和 $\overline{A}$ 的概率分别为p 以及p（即1-q）。
$P(x) = C_{n}^{x}p^xq^{n-x}$
其实就是高中学习过的排列组合，从n次实验中，其中有 $x$ 个事件成功， $n-x$ 个事件失败，其中成功事件的概率为 $p$ 。二项分布分布记作B(n,p)。
二项式分布的形状
二项式分布主要有 $n,p$ 两个参数决定。

二项式分布图
图中可以看出，当n值变大的时候，或p值接近0.5的时候，概率分布趋近对称。
注意：其中纵坐标是n次实验中事件

A

发生

x

次的概率，

p

是一次实验中，事件

A

发生的概率。

两个参数：
二项成数分布平均数： $u_p=p$
二项成数分布的标准差： $\theta_p = \sqrt\frac{pq}{n}$
之前有做到一个考题。打靶中知道打靶命中率 $p$ ,求n次打靶中最可能命中多少次。这个问题就是去解二项分布曲线中的最高点。

泊松分布

基本概念：
满足条件：1）事件出现的概率小，即 $p$ 比较小；2）试验次数大，即 $n$ 很大。感觉是一种特殊的二项式分布。只是 $p$ 和 $n$ 的取值较大。当 $p < 0.1甚至0.01$ 时，泊松分布更为合适。泊松分布非常适用于研究小概率事件，比如基因变异等。
泊松分布的概率函数：
$p(x) = \frac{e^{-\lambda}{\lambda}}{x!}$
泊松分布图
其中： $u = \lambda$ ， $\sigma^2 = \lambda$ 。即平均数和方法都等于 $\lambda$ 。
既然泊松分布是一种特殊的二项式分布，当 $\lambda$ 增大时，泊松分布逼近正态分布 $N(\lambda,\lambda)$ 。当 $\lambda = 20$ 及以上时，泊松分布就非常接近于正态分布。

正态分布

基本概念：
前面介绍的两种分布是离散型变量分布，接下来介绍的是连续性随机变量的分布------正态分布。是平时用的最多的一种分布，试验误差一般服从这种分布。而且二项式分布和泊松分布在满足一定的条件下，可以近似于正态分布。多数变量以 $\delta$ 围绕在平均数左右。
正态分布概率函数： $f(x) = \frac{1}{\delta\sqrt{2{\pi}}} e^{-{\frac{1}{2}}(\frac{x-u}{\delta})^2}$
其中 $u$ 是总体平均数， $\delta$ 是总体标准差。正态分布中最重要的两个参数。正态分布一般记作 $N(u,\delta^2)$ 。
分布形状：
正态分布曲线
其中 $u$ 影响曲线的位置， $\delta$ 影响曲线的胖瘦。
标准正态分布：
$u = 0, \delta^2 = 1$ 的正态分布。记作 $N(0,1)$ 。在计算时，常常需要对正态分布标准化，任何满足 $N(u，\delta^2)$ 的正态分布都满足: $u = \frac{x-u}{\delta}$
我的理解就是把曲线进行一个平移转换。 $u$ 和标准正态分布 $N(0,1)$ 相比，在平均数0上加了一个 $u$ ， $\delta$ 和1相比乘了一个 $\delta$ 。
因为标准正态分布有详尽的表格。将正态分布的值转移到标准正态分布 $N(0,1)$ 中对应的值，就可以很方便的计算其概率以及概率累积。整个曲线下面的面积，即整个曲线的概率累积为1。这里也可以看出，两个正态分布是可以互相加减的。

t分布
由前面的无偏估计可知，当样本容量n比较大(n>30)的时候，可以用样本方差 $s^2$ 估计总体方差 $\delta^2$ 。但是如果样本容量不够大的时候，即小于30的时候，这个时候 $\frac{\overline{x}-u}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 不服从正态分布。我的理解就是从N个总体中，抽选n个样本，一共有 $C_N^n$ 种方式，但是如果n很小，那么每次抽样所得到的平均和总体平均数之间就会相差很大。那个抽样误差就不满足正态分布。而是满足自由度df = n -1的t分布。
$t = \frac{\overline{x}-u}{s_{\overline{x}}} = {\frac{\overline{x} - u}{\frac{s}{\sqrt{n}}}}$
其中 $s_{\overline{x}}$ 为样本平均数的标准误。样本标准误反映的是样本均数之间的差异，是多个样本平均数的标准差。

t分布概率密度函数
t分布种平均数

u_t = 0(df > 1)

方差

{\delta}^2 = \frac{df}{df-2}

。t分布曲线和正态分布很像，当df>30时，曲线接近正态分布。

t分布和正态分布曲线

$\chi^2$ 检验
从标准正态分布 $N(0,1)$ ，抽取 $k$ 个样本，得到 $k$ 个值，将这 $k$ 个值得平方和加起来，定义为 $\chi^2$ 。

该式子后面利用表准正态分布的转化公式。

\chi^2

分布的概率累积函数：

F(\chi^2) = \int_{0}^{\chi^2}f(\chi^2)d(\chi^2)

\chi^2

分布的曲线主要由自由度决定。即从标准正态分布种抽取的独立样本数量决定，当抽取的独立样本数量

k

越大，则自由度

df= k -1

就越大，那么就越接近正态分布。

$F$ 分布
刚才讲到的 $\chi^2$ 分布是从标准正态分布(非标准正态分布可以进行转换)中抽取 $k$ 个样本，计算其平方和。
这里的 $F$ 分布是从正态分布 $N(N, {\delta^2})$ 中抽取样本容量为 $n_1$ 和 $n_2$ 的两个样本。样本方差分别为 $s^2$ 和 $s^2$ ，定义：
$F = \int_0^Ff(x)dF$