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从三角形看整数的拆分

从三角形看整数的拆分

作者: 为什么数学 | 来源:发表于2020-05-21 11:00 被阅读0次

          最近的三角形学习中有这样一类题目:

          已知一个三角形的周长为9,且三边长都为整数,那么这个三角形的三边长可能为多少?

          这个问题可以直接用整数的拆分来解决。小学一年级学过的9可以分成1和8,就可以分成2和7,这其实就是一种整数的拆分,只不过三角形这里是要分成三边,也就是要拆分成三个整数的和。那么我们就必须要按照一定的顺序来拆分了,不然很容易产生遗漏。还是用一年级的拆分来说,如果我们拆分9,可以分成1和8,2和7,3和6,4和5,这样,前面那个数每次加1。按照这样的顺序,不容易遗漏。如果先写3和6,然后是1和8这样没有顺序,就很容易遗漏。

          那么拆分三个数怎么才有顺序呢?一样的,我们可以从第一个分出来的数是1开始列举,并且保证后面一个分出来的数一定不比前一个数小,那么这样既不容易遗漏,也不容易重复。我们先从1开始:

    1——1——7

    1——2——6

    1——3——5

    1——4——4

          这样,1开头的就列举完了,因为再往下是1——5——3,最后一个数比第二个数小,明显就和1——3——5重复了,所以我们就不往下写了。借着写2开头的:

    2——2——5

    2——3——4

          这样2开头的就列举完了,因为再往下,2——4——3,又会让最后一个数小于第二个数,肯定就会重复。这里值得注意的是,如果第一个数是2,那么第二个数至少也得是2,如果写2——1——6,让第二个数小于第一个数,又会重复了。我们接着写3开头的:

    3——3——3

          3开头的只有这么一个,并且也是所有拆分方法的最后一个。因为再往后4开头的话,4——4——1,怎么都会让后面的数小于前面的数。

          综合一下,我们已经找出了把9拆分为三个整数的7种方法,那是不是这样就结束了呢?当然没有,三角形三边长肯定是有要求的,不是随便三条边都能构成三角形。引用上次我关于三角形三边长的一个简便结论:

    三条线段中较短的两条之和大于第三条,那么这三条线段一定能构成三角形。

          因为我们在拆分的时候,已经保证了后面的数不比前面的数小,所以我们只需要把前面两个数加起来,如果和比第三个数大,就能构成三角形,否则,就不能。这样一验证,就只有下面3种拆分符合要求了:

    1——4——4

    2——3——5

    3——3——3

          这样,我们就得到了文章开始那道题目的正确答案。

          那么,是不是每个这样的题目都得用这个方法呢?如果给的拆分数比较大,那要写的拆分就太多了,能不能简单一些呢?

          当然可以简单一些!我们可以先从三角形的三边关系去分析,然后再去拆分,就能得到更简便的方法。

          我们前面说了,三条线段中较短的两条之和大于第三条,那么这三条线段一定能构成三角形。这样的话,也就是说,最长的那条线段一定小于较短的那两条线段的和。换一个说法,也就是最长的那条线段一定要小于三条线段的和的一半。这样的话,我们就能先对最长的那条线段作一些限定,减少我们的工作量。

          还是以文章开始的那道题举例。我们可以首先算出总长度的一半:

    9➗2=4……1

          最长的那条线段既然要比三条线段的和的一半小,那么最大只能是4(这里我们就不再提三条边长度都为整数的要求了,直接默认为整数),因为总长的一半只比4多一点。既然最大是4,我们完全可以换一下思维去拆分9这个数,我们就以最大的数4开头来写,并且保证后面的每一个数都不大于前面的数。按照这个想法,我们可以写出:

    4——4——1

    4——3——2

    3——3——3

          刚好三个,既没有多余的,也没有重复的。大家看看,是不是要简单很多。

          我们再以三角形的周长为10来试试。首先算出总长的一半:10➗2=5。从比总长的一半要小得知最长的边顶多是4,接着就可以拆分:

    4——4——2

    4——3——3

          这样,很快就完成了这一题。

          有时候,题目会告诉我们,这个三角形是一个等腰三角形,那么我们只需要从结果中找出有两条边相等结果就可以了。

          通过前面的分析过程,大家可以感受得到,我们有时候既要去分析一个题目,也要多方位思考,想想能不能有更简单的方法。因为很多时候,简单的方法更不容易出错,就像简算题出现计算错误更少一样。数学的魅力正在于此。

          最后,我们还是来一道题目,大家用上面的方法试试吧!

          已知一个三角形的周长为12,且三边长都为整数,那么这个三角形的三边长可能为多少?

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