九章 矩阵及其运算

矩阵定义：由mn个数拍成的一个m行n列的数表

称为一个mn的矩阵，其中aij称为矩阵的第i行j列元（i=1,2,.....m;j=1,2,.....n) mn矩阵A也记为Amn或者(aij)m*n

当m=n时，即矩阵的行数等于列数时，称A为n界方阵
其中a11,a22,....amn称为方阵A的对焦元。当mn矩阵A中所有的元均为零时，称A为零矩阵，记为0mn 也可记为0

注：不同阶数的零矩阵时不相等的。

几种特殊的方阵

一阶方阵A=（a）视同普通的数a。
对角矩阵：如果n阶方阵A=(aij)中的元满足aij=0,i!=j(i,j=1,2,....n)则称A时对角矩阵。

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记为：diag(a11,a22,....amn)

数量矩阵：如果n阶对角矩阵A中a11=a22= .... amn = a image.png

当a=1时，该数量矩阵称为单位矩阵，记为E。
上下三角矩阵：
如果n阶方正A=（aij）中的元满足ain = 0,i>j(i,j=1,2,....n) ,则称A为上三角矩阵。
如果n阶方正A=（aij）中的元满足ain = 0,i<j(i,j=1,2,....n) ,则称A为上三角矩阵。

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对称矩阵：如果n阶方阵A=(aij)中的元满足aij=aji(i,j=1,2,...n)则称A为对称矩阵。
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反称矩阵：如果n阶方阵A=(aij)中元满足aij=-aji(i,j=1,2,...n) 则称A为反称矩阵.

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矩阵的运算：
行数列数对应相等的矩阵称为同型矩阵。
两个行列式值相等，那么这两个行列式相等。
加法： image.png
只有同型矩阵才能相加，结果也是同型矩阵。
交换律：A+B= B+ A
结合律：A+（B+c）= （A+B）+ C
负矩阵：-A=（-aij)m*n
减法： image.png
乘法： image.png
运算法则： image.png

方程组可用矩阵表示为AX=B

转置矩阵

矩阵转置的性质：

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逆矩阵：

定义:

性质：

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矩阵分块：

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